Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

D'après l'énoncé, les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{DE}$$ sont colinéaires et de même sens.
Cela signifie que : $$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE} \right)=0$$.
De plus, à l'aide de la représentation de la ligne brisée, on lit facilement que :

• $$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{BC} \right)=\frac{2\pi }{3}$$
• $$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CD} \right)=-\frac{\pi }{2}$$

D'après la relation de Chasles, on a :
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE} \right)=\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{BC} \right)+\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{CD} \right)+\left(\overrightarrow{CD} ;\overrightarrow{DE} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE} \right)=\left(-\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{BC} \right)+\left(-\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CD} \right)+\left(-\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE} \right)=\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{BC} \right)+\pi +\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CD} \right)+\pi +\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)+\pi$$
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE} \right)=\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{BC} \right)+\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CD} \right)+\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)+3\pi .$$
Comme : $$\left(\overrightarrow{BA} ;\overrightarrow{BC} \right)=\frac{2\pi }{3}$$ ; $$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CD} \right)=-\frac{\pi }{2}$$ et $$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE} \right)=0$$, il vient alors que :
$$0=\frac{2\pi }{3} -\frac{\pi }{2} +\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)+3\pi$$
$$\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)=-\frac{2\pi }{3} +\frac{\pi }{2} -3\pi$$
$$\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)=-\frac{19\pi }{6}$$
Nous allons déterminer la mesure principale de $$-\frac{19\pi }{6}$$.
« A la calculatrice, on tape $$-\frac{19}{6} \approx -3,16$$. On s'intéresse uniquement à la partie entière c'est à dire à la partie avant la virgule. Ici on a $$-3$$. Comme $$-3$$ est impair on rajoute $$-1$$ ce qui nous donne $$-4$$. On garde cette valeur. On va soustraire à $$-\frac{19\pi }{6}$$ la valeur $$-4\pi$$ qui est bien un multiple de $$2k\pi$$ »
La partie entre guillemets et en italique est une explication pour obtenir la mesure principale.
Vous ne devez pas l'écrire sur une copie.
Ce qui doit apparaitre sur une copie est donnée ci-dessous :

Il vient alors :
$$\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)=-\frac{19\pi }{6} -\left(-4\pi\right)$$
$$\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)=-\frac{19\pi }{6} +4\pi$$
$$\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)=-\frac{19\pi }{6} +\frac{24\pi }{6}$$
$$\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)=\frac{5\pi }{6}$$
Il en résulte que la mesure principale de l'angle orienté de mesure $$-\frac{19\pi }{6}$$ est $$\frac{5\pi }{6}$$.
Ainsi :
$$\left(\overrightarrow{DC} ;\overrightarrow{DE} \right)=\frac{5\pi }{6}$$