Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

$$ABC$$ est un triangle rectangle isocèle en $$C$$ tel que : $$A\hat{C}B=\frac{\pi }{2}$$, il en résulte que les angles $$C\hat{A}B$$ et $$C\hat{B}A$$ sont égaux .
On rappelle que dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
Ainsi $$C\hat{A}B=C\hat{B}A=\frac{\pi }{4}$$.
Il en résulte donc que l'angle $$\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right)$$ est dans le sens indirect soit $$\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right)=-\frac{\pi }{4}$$.
Enfin , l'angle $$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right)$$ est dans le sens indirect soit :
$$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right)=-\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AB} \right)=-\frac{\pi }{2}$$
Ainsi :

On sait que $$ADEB$$ est un carré.
Ainsi : $$\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{BE}$$
De même, on sait que $$EFGH$$ est un parallélogramme.
Ainsi : $$\overrightarrow{FG} =\overrightarrow{EH}$$
Finalement :

Comme $$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{FG} \right)=\left(\overrightarrow{BE} ;\overrightarrow{EH} \right)$$.
Il nous suffit de déterminer la mesure de l'angle $$\left(\overrightarrow{BE} ;\overrightarrow{EH} \right)$$ pour obtenir celle de $$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{FG} \right)$$.
On sait que $$\left(\overrightarrow{EH} ;\overrightarrow{EB} \right)=\frac{\pi }{3}$$ alors :
$$\left(\overrightarrow{BE} ;\overrightarrow{EH} \right)=\left(-\overrightarrow{EB} ;\overrightarrow{EH} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{BE} ;\overrightarrow{EH} \right)=\left(\overrightarrow{EB} ;\overrightarrow{EH} \right)+\pi$$
Or $$\left(\overrightarrow{EB} ;\overrightarrow{EH} \right)=-\left(\overrightarrow{EH} ;\overrightarrow{EB} \right)$$ car $$\left(\overrightarrow{v} ;\overrightarrow{u} \right)=-\left(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v} \right)$$
Ainsi :
$$\left(\overrightarrow{BE} ;\overrightarrow{EH} \right)=-\left(\overrightarrow{EH} ;\overrightarrow{EB} \right)+\pi$$
$$\left(\overrightarrow{BE} ;\overrightarrow{EH} \right)=-\frac{\pi }{3} +\pi$$
$$\left(\overrightarrow{BE} ;\overrightarrow{EH} \right)=-\frac{\pi }{3} +\frac{3\pi }{3}$$
$$\left(\overrightarrow{BE} ;\overrightarrow{EH} \right)=\frac{2\pi }{3}$$
Il en résulte donc que :

$$\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{FG} \right)=\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{AB} \right)+\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AD} \right)+\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{FG} \right)$$ d'après la relation de Chasles.

Or :
$$\left(\vec{AC} ;\vec{AB} \right)=-\frac{\pi }{4}$$ d'après la question 1
$$\left(\vec{AB} ;\vec{AD} \right)=-\frac{\pi }{2}$$ d'après la question 1
$$\left(\vec{AD} ;\vec{FG} \right)=\frac{2\pi }{3}$$ d'après la question 3

Il vient alors que :
$$\left(\vec{AC} ;\vec{FG} \right)=\left(\vec{AC} ;\vec{AB} \right)+\left(\vec{AB} ;\vec{AD} \right)+\left(\vec{AD} ;\vec{FG} \right)$$
$$\left(\vec{AC} ;\vec{FG} \right)=-\frac{\pi }{4} -\frac{\pi }{2} +\frac{2\pi }{3}$$
$$\left(\vec{AC} ;\vec{FG} \right)=-\frac{3\pi }{12} -\frac{6\pi }{12} +\frac{8\pi }{12}$$
$$\left(\vec{AC} ;\vec{FG} \right)=-\frac{\pi }{12}$$