Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Comme le triangle $$ABC$$ est un triangle rectangle isocèle en $$B$$, on a vu alors que $$\widehat{BAC}=\frac{\pi}{4}$$.
Or l'angle orienté $$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)$$ est dans le sens direct. De ce fait :

Dans un premier temps, nous allons écrire l'angle orienté $$\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)$$ à partir d'un sommet commun , ici le sommet $$C$$ .
$$\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(-\overrightarrow{CB} ;-\overrightarrow{CA} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{BC} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)$$
Nous avons vu à la question $$1$$ que $$\widehat{ACB}=\frac{\pi}{4}$$ . L'angle orienté $$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CA} \right)$$ est dans le sens indirect ( c'est à dire dans le sens des aiguilles d'une montre ).
De ce fait :

D'après la relation de Chasles, on a :
$$\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AB} \right)+\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)$$ . Les angles orientés $$\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AB} \right)$$ et $$\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC} \right)$$ sont dans le sens direct.
Il vient alors que :
$$\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$$
Ainsi :

Dans un premier temps, nous allons écrire l'angle orienté $$\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)$$ à partir d'un sommet commun , ici le sommet $$A$$ .
$$\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(-\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\pi$$
Nous avons vu à la question $$1$$ que $$\widehat{DAC}=\frac{\pi}{3}$$ . L'angle orienté $$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)$$ est dans le sens indirect ( c'est à dire dans le sens des aiguilles d'une montre ).
Ainsi :
$$\left(\overrightarrow{DA} ;\overrightarrow{AC} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\pi=-\frac{\pi}{3}+\pi$$
De ce fait :

D'après la relation de Chasles, on a :
$$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{AC} ;\overrightarrow{CB} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(-\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)+\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right) +\pi$$ . L'angle orienté $$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{AC} \right)$$ est dans le sens indirect et $$\left(\overrightarrow{CA} ;\overrightarrow{CB} \right)$$ est dans le sens direct.
Il vient alors que :
$$\left(\overrightarrow{AD} ;\overrightarrow{CB} \right)=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} +\pi$$
Ainsi :