Sous forme de petits problèmes - Exercice 2

Les vecteurs $$\overrightarrow{HA}$$ et $$\overrightarrow{DH}$$ sont égaux. On peut donc écrire que :
$$\left(\overrightarrow{HA} ;\overrightarrow{DB} \right)=\left(\overrightarrow{DH} ;\overrightarrow{DB} \right)$$. Or les vecteurs $$\overrightarrow{DH}$$ et $$\overrightarrow{DB}$$ ont la même origine, on peut lire alors que :
. Ici l'angle $$\left(\overrightarrow{DH} ;\overrightarrow{DB} \right)$$ est dans le sens indirect.

Les vecteurs $$\overrightarrow{DI}$$ et $$\overrightarrow{FJ}$$ sont égaux. On peut donc écrire que :
$$\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{DI} \right)=\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{FJ} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{DI} \right)=\left(\overrightarrow{JB} ;-\overrightarrow{JF} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{DI} \right)=\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{JF} \right)+\pi$$ . On a utilisé le rappel. Ici l'angle orienté $$\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{JF} \right)$$ est dans le sens direct.
$$\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{DI} \right)=\frac{\pi }{2} +\pi$$
$$\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{DI} \right)=\frac{3\pi }{2}$$. Ce n'est pas une mesure principale, on va donc retrancher $$2\pi$$.
$$\left(\overrightarrow{JB} ;\overrightarrow{DI} \right)=\frac{3\pi }{2}-2\pi$$
Ainsi :.

Les vecteurs $$\overrightarrow{CB}$$ et $$\overrightarrow{HA}$$ sont colinéaires et de même sens. Ainsi : .

Les vecteurs $$\overrightarrow{AG}$$ et $$\overrightarrow{JH}$$ sont colinéaires et de sens opposés. Ainsi : .

On a :
$$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{EC} \right)=\left(\overrightarrow{CB} ;-\overrightarrow{CE} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{EC} \right)=\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CE} \right)+\pi$$ . Ici l'angle $$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{CE} \right)$$ est dans le sens indirect.
$$\left(\overrightarrow{CB} ;\overrightarrow{EC} \right)=-\frac{\pi }{3} +\pi$$
Ainsi : .

On a :
$$\left(\overrightarrow{CE} ;\overrightarrow{BE} \right)=\left(-\overrightarrow{EC} ;-\overrightarrow{EB} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{CE} ;\overrightarrow{BE} \right)=\left(\overrightarrow{EC} ;\overrightarrow{EB} \right)$$ . Ici l'angle $$\left(\overrightarrow{EC} ;\overrightarrow{EB} \right)$$ est dans le sens indirect.
Ainsi :.

A l'aide de la relation de Chasles, on peut écrire que :
$$\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{BE} \right)=\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{FB} \right)+\left(\overrightarrow{FB} ;\overrightarrow{BJ} \right)+\left(\overrightarrow{BJ} ;\overrightarrow{BE} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{BE} \right)=\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{FB} \right)+\left(-\overrightarrow{BF} ;\overrightarrow{BJ} \right)+\left(\overrightarrow{BJ} ;\overrightarrow{BE} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{BE} \right)=\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{FB} \right)+\left(\overrightarrow{BF} ;\overrightarrow{BJ} \right)+\pi+\left(\overrightarrow{BJ} ;\overrightarrow{BE} \right)$$
Or, d'après la représentation graphique, on peut lire que :
$$\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{FB} \right)=\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{FG} \right)+\left(\overrightarrow{FG} ;\overrightarrow{FB} \right)$$
$$\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{FB} \right)=\frac{-\pi }{4} +\frac{-\pi }{4}$$
$$\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{FB} \right)=\frac{-\pi }{2}$$
De plus : $$\left(\overrightarrow{BF} ;\overrightarrow{BJ} \right)=\frac{\pi }{4}$$
Et enfin :$$\left(\overrightarrow{BJ} ;\overrightarrow{BE} \right)=\frac{\pi }{3}$$
Il en résulte que :
$$\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{BE} \right)=\frac{-\pi }{2}+\frac{\pi }{4}+\pi+\frac{\pi }{3}$$
$$\left(\overrightarrow{FA} ;\overrightarrow{BE} \right)=\frac{13\pi }{12}$$. Ce n'est pas une mesure principale, on va retrancher $$2\pi$$ , cela nous donne donc :
$$\left(\vec{FA} ;\overrightarrow{BE} \right)=\frac{13\pi }{12}-2\pi$$
$$\left(\vec{FA} ;\vec{BE} \right)=-\frac{11\pi }{12}$$
.