Comment étudier les variations d'une fonction de la forme $$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$$ - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=6\times 2x+48$$

Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$12x+48\ge 0$$
$$12x\ge -48$$
$$x\ge \frac{-48}{12}$$
$$x\ge -4$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$12x+48$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-4$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-4\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-4;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f\left(-4\right)=6\times\left(-4\right)^{2} +48\times \left(-4\right)-12$$ ainsi $$f\left(-4\right)=-108$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-15x+120$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-15x+120\ge 0$$
$$-15x\ge -120$$
$$x\le \frac{-120}{-15}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 8$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-15x+120$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$8$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;8\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[8;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :

$$f\left(8\right)=-7,5\times\left(8\right)^{2} +120\times \left(8\right)-30$$ ainsi $$f\left(8\right)=450$$