Comment étudier les variations d'une fonction de la forme $$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$$ - Exercice 3

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=5\times 2x+15$$

Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$10x+15\ge 0$$
$$10x\ge -15$$
$$x\ge \frac{-15}{10}$$
$$x\ge -\frac{3}{2}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$10x+15$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$-\frac{3}{2}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;-\frac{3}{2}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[-\frac{3}{2};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
On a :
$$f\left(-\frac{3}{2}\right)=5\times\left(-\frac{3}{2}\right)^{2} +15\times\left(-\frac{3}{2}\right)-2=-\frac{53}{4}$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=-14x+63$$
Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$-14x+63\ge 0$$
$$-14x\ge -63$$
$$x\le \frac{-63}{-14}$$ . $${\color{red}\text{Attention : on change le sens de l'inéquation car on divise par un négatif.}}$$
$$x\le 4,5$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-14x+63$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$4,5$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;4,5\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[4,5;+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
On a :
$$f\left(4,5\right)=-7\times\left(4,5\right)^{2}+63\times\left(4,5\right)-99=42.75$$