Comment étudier les variations d'une fonction de la forme $$f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d$$ - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-2;6\right]$$ . On a :
$$f'\left(x\right)=3 \times x^{2} -2\times 2x+1$$

Nous savons que : $$f'\left(x\right)=3x^{2} -4x+1$$
Ici la dérivée est une fonction du $$2$$^ème degré.
Pour l'étude du signe de $$3x^{2} -4x+1$$, on va utiliser le discriminant.
Alors $$a=3$$; $$b=-4$$ et $$c=1$$.
Or $$\Delta =b^{2} -4ac$$ donc $$\Delta = \left(-4\right)^{2}-4\times3\times1=4$$.
Il existe donc deux racines réelles distinctes.

• $$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{1} =\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{4 } }{2\times 3}$$ d'où : $$x_{1} =\frac{1}{3}$$.
• $$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ce qui donne $$x_{2} =\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{4 } }{2\times 3}$$ d'où : $$x_{2} =1$$.

Comme $$a=3>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f'$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f\left(-2\right)= \left(-2\right)^{3} -2\times\left(-2\right)^{2} +1$$ d'où $$f\left(-2\right)= -18$$

$$f\left(1\right)= 1^{3} -2\times1^{2} +1$$ d'où $$f\left(1\right)= 0$$

$$f\left(6\right)= 6^{3} -2\times6^{2} +1$$ d'où $$f\left(6\right)= 150$$

$$f\left(\frac{1}{3}\right)= \frac{4}{27}$$