Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

$$f$$ est une fonction polynôme du $$2$$^ème degré.
Par définition, les fonctions polynomiales sont dérivables sur $$\mathbb{R}$$ .
Il en résulte donc, que la fonction $$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ .

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
$$f'\left(x\right)=2\times x-5$$

Ici $$a=1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$.
Avec $$f'(x)=2x-5$$ et $$f(x)=x^2-5x+2$$.
1^ère étape : calculer $$f\left(1\right)$$
$$f\left(1\right)=1^{2} -5\times 1+2$$
$$f\left(1\right)=-2$$
2^ème étape : calculer $$f'\left(1\right)$$
$$f'\left(1\right)=2\times 1-5$$
$$f'\left(1\right)=-3$$
3^ème étape : on remplace les valeurs de $$f\left(1\right)$$ et de $$f'\left(1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$
$$y=-3\times \left(x-1\right)-2$$
$$y=-3x+3-2$$
$$y=-3x+1$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$1$$ est alors $$y=-3x+1$$.

Etudier le signe de $$f\left(x\right)-(-3x+1)$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)-(-3x+1)=x^2-5x+2-(-3x+1)$$
$$f\left(x\right)-(-3x+1)=x^2-5x+2+3x-1$$

$$x^2-2x+1$$ est un polynôme du second degrzé de la forme $$ax^2+bx+c$$ $$(Avec\;a\ne 0)$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=1$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-2\right)^{2} -4\times 1\times 1$$
$$\Delta =4-4=0$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{2}{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{0} =1$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ et que nous connaissons la racine $$x{}_{0}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de $$a$$. Ici $$a=1$$
$$\color{blue}On\;peut\;donc\;conclure\;ici\;que\;f(x)-(-3x+1)>0$$.

De la question précédente, on en a déduit que :
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$$$f(x)-(-3x+1)>0$$.