Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU - Exercice 1

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La fonction ff est définie sur ]−1;+∞[\left]−1 ;+\infty \right[ par : f(x)=x2+1x+1f\left(x\right) = \frac{x^2+1}{x+1} .
On se place dans un repère orthonormé du plan. On note Cf\mathscr{C_{f}} la courbe représentative de la fonction ff.

Question 1

Démontrer que pour tout   x  \;x\; appartenant à l’intervalle ]−1;+∞[\left]−1 ;+\infty \right[ : f′(x)=x2+2x−1(x+1)2f'(x) = \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} .

Correction
Puisque x>−1x > −1, alors x+1>0x +1 > 0, ff est donc une fonction quotient dérivable sur ]−1;+∞[\left]−1 ;+\infty \right[ .
Soit : f(x)=x2+1x+1f\left(x\right) = \frac{x^{2}+1}{x+1}
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=x2+1u\left(x\right)=x^{2}+1 et v(x)=x+1v\left(x\right)=x+1
Ainsi : u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
Il vient alors que :
f′(x)=2x×(x+1)−1×(x2+1)(x+1)2f'\left(x\right) = \frac{2x\times\left(x+1\right)-1\times\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)^2}
f′(x)=2x2+2x−x2−1(x+1)2f'\left(x\right) =\frac{2x^2+2x-x^2-1}{\left(x+1\right)^2}
Finalement :
f′(x)=x2+2x−1(x+1)2f'\left(x\right) =\frac{x^2+2x-1}{\left(x+1\right)^2}
Question 2

Déterminer le sens de variation de la fonction ff sur ]−1;+∞[\left]−1 ;+\infty \right[ .

Correction
Pour tout réel x∈]−1;+∞[x \in \left]−1 ;+\infty \right[ nous savons que (x+1)2>0\left(x+1\right)^2>0 . Le signe de f′(x)f'\left(x\right) dépend alors du trinôme x2+2x−1x^2+2x-1 .
Δ=22−4×1×(−1)=8\Delta = 2^2-4\times1\times\left(-1\right)=8
Comme Δ>0\Delta >0 alors x2+2x−1x^2+2x-1 admet deux racines réelles distinctes notées x1x_{1} et x2x_{2} telles que :
x1=−b−Δ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=−2−82x_{1} =\frac{-2-\sqrt{8} }{2} d'où x1=−1−2x_{1} =-1-\sqrt{2}
x2=−b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=−2+82x_{2} =\frac{-2+\sqrt{8} }{2} d'où x2=−1+2x_{2} =-1+\sqrt{2}
a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f′f' est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines. Il en résulte donc que :
Question 3

Déterminer une équation de la tangente TT à la courbe représentative de ff au point d’abscisse 0.0.

Correction
L'équation de la tangente au point d'abscisse aa s'écrit y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Ici a=0a=0, ce qui donne, y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right).
Comme f(x)=x2+1x+1f\left(x\right) = \frac{x^2+1}{x+1} alors f(0)=1f\left(0\right) = 1
Comme f′(x)=x2+2x−1(x+1)2f'\left(x\right) =\frac{x^2+2x-1}{\left(x+1\right)^2} alors f′(0)=−1f'\left(0\right) = -1
Ainsi :
y=(−1)×(x−0)+1y=\left(-1\right)\times\left(x-0\right)+1
Ainsi :
y=−x+1y=-x+1

L'équation de la tangente à la courbe Cf\mathscr{C_{f}} au point d'abscisse 00 est alors y=−x+1y=-x+1.
Question 4

Étudier la position relative de la courbe représentative de ff et de la droite d’équation y=x.y = x.

Correction
Soit x∈]−1;+∞[x\in\left]−1 ;+\infty \right[
On étudie la fonction différence entre la fonction ff et la droite d'équation y=xy=x.
On note dd la fonction telle que d(x)=f(x)−yd\left(x\right)=f\left(x\right)-y
d(x)=f(x)−yd\left(x\right)=f\left(x\right)-y équivaut successivement à :
d(x)=x2+1x+1−xd\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x+1}-x
d(x)=x2+1x+1−x(x+1)x+1d\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x+1}-\frac{x\left(x+1\right)}{x+1}
d(x)=x2+1−x(x+1)x+1d\left(x\right)=\frac{x^2+1-x(x+1)}{x+1}
d(x)=x2+1−x2−xx+1d\left(x\right) = \frac{x^2+1-x^2-x}{x+1}
d(x)=−x+1x+1d\left(x\right) = \frac{-x+1}{x+1}
x∈]−1;+∞[x\in\left]−1 ;+\infty \right[ donc x+1>0x+1>0 .
Le signe de f′f' dépend alors du numérateur −x+1-x+1 .
−x+1≥0⇔−x≥−1⇔x≤−1−1⇔x≤1-x+1\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -1\Leftrightarrow x\le \frac{-1}{-1} \Leftrightarrow x\le 1 .
On dresse alors le tableau de signe de la fonction dd .
Interpreˊtation graphique :\red{\text{Interprétation graphique :}}
  • Si x∈]−1;1]x\in \left]−1 ;1 \right] alors d(x)≥0d\left(x\right)\geq 0 soit f(x)−y≥0f\left(x\right)-y\geq 0 ainsi f(x)≥yf\left(x\right)\geq y.
    • Il en résulte que la courbe Cf\mathscr{C_{f}} est au-dessus de la droite d’équation y=xy = x .
  • Si x∈[1;+∞[x\in \left[1 ;+\infty \right[ alors d(x)≤0d\left(x\right)\le 0 soit f(x)−y≤0f\left(x\right)-y\le 0 ainsi f(x)≤yf\left(x\right)\le y.
    • Il en résulte que la courbe Cf\mathscr{C_{f}} est en dessous de la droite d’équation y=xy = x

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