Extremums - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-2,6\right]$$ .
On a :

Ici la dérivée est une fonction du $$1$$^er degré.
Pour étudier son signe, nous allons résoudre l'inéquation $$f'\left(x\right)\ge 0$$.
En effet, en résolvant $$f'\left(x\right)\ge 0$$, on déterminera ainsi l'intervalle sur lequel la dérivée est positive ou nulle.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à
$$4x-16\ge 0$$
$$4x\ge 16$$
$$x\ge \frac{16}{4}$$
$$x\ge 4$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$4x-16$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$4$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[-2;4\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ .
• si $$x\in\left[4;6\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ .

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe de $$f'$$
ci-dessous :

D'après la question précédente :

• si $$x\in\left[-2;4\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[4;6\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation de $$f$$ ci-dessous :

$$f\left(-2\right)=2\times\left(-2\right)^{2} -16\times \left(-2\right)+5$$ ainsi $$f\left(-2\right)=45$$

$$f\left(4\right)=2\times4^{2} -16\times 4+5$$ ainsi $$f\left(4\right)=-27$$

$$f\left(6\right)=2\times6^{2} -16\times 6+5$$ ainsi $$f\left(6\right)=-19$$

D'après le tableau ci-dessus :

$$f'$$ s'annule en changeant de signe en $$4$$ donc $$f$$ admet un $$\text{\red{extremum local}}$$. Il s’agit, dans cette situation, d'un minimum

De plus :

Le maximum de $$f$$ sur $$\left[-2,6\right]$$ est atteint en $$x=-2$$ et a pour valeur $$45$$ .

Le minimum de $$f$$ sur $$\left[-2,6\right]$$ est atteint en $$x=4$$ et a pour valeur $$-27$$ .

La courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses si et seulement si $$f'$$ s'annule.
La solution de l'équation $$f'\left(x\right)=0$$ est alors $$x=4$$ .
Il en résulte donc qu'au point d'abscisse $$4$$, la courbe $$\mathscr{C}_{f}$$ admet une tangente horizontale .