Les dérivées des fonctions composées : (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{ax+b} \right)^{'} =\frac{a}{2\sqrt{ax+b} } - Exercice 3

6 min
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Question 1

Soit ff la fonction dérivable sur ]−16;+∞[\left]-\frac{1}{6};+\infty \right[ et définie par f(x)=5  6x+1f\left(x\right)=5\;\sqrt{6x+1} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=5  6x+1f\left(x\right)=5\;\sqrt{\red{6}x+1} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=5×626x+1f'\left(x\right)=5\times\frac{\red{6}}{2\sqrt{\red{6}x+1} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=5×36x+1f'\left(x\right)=5\times\frac{3}{\sqrt{\red{6}x+1} }
f′(x)=156x+1f'\left(x\right)=\frac{15}{\sqrt{6x+1} }
Question 2

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;−6[\left]-\infty;-6 \right[ et définie par f(x)=−7  −2x−12f\left(x\right)=-7\;\sqrt{-2x-12} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=−7  −2x−12f\left(x\right)=-7\;\sqrt{\red{-2}x-12} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=−7×−22−2x−12f'\left(x\right)=-7\times\frac{\red{-2}}{2\sqrt{\red{-2}x-12} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=−7×−1−2x−12f'\left(x\right)=-7\times\frac{-1}{\sqrt{\red{-2}x-12} }
f′(x)=7−2x−12f'\left(x\right)=\frac{7}{\sqrt{-2x-12} }
Question 3

Soit ff la fonction dérivable sur ]−718;+∞[\left]-\frac{7}{18};+\infty \right[ et définie par f(x)=11  18x+7f\left(x\right)=11\;\sqrt{18x+7} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=11  18x+7f\left(x\right)=11\;\sqrt{\red{18}x+7} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=11×18218x+7f'\left(x\right)=11\times\frac{\red{18}}{2\sqrt{\red{18}x+7} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=11×918x+7f'\left(x\right)=11\times\frac{9}{\sqrt{\red{18}x+7} }
f′(x)=9918x+7f'\left(x\right)=\frac{99}{\sqrt{18x+7} }
Question 4

Soit ff la fonction dérivable sur ]−∞;−4[\left]-\infty;-4 \right[ et définie par f(x)=−3  −4x−16f\left(x\right)=-3\;\sqrt{-4x-16} . Déterminer l'expression de la dérivée de ff .

Correction
  • (ax+b)′=a2ax+b\left(\sqrt{\red{a}x+b} \right)^{'} =\frac{\red{a}}{2\sqrt{\red{a}x+b} }
Soit f(x)=−3  −4x−16f\left(x\right)=-3\;\sqrt{\red{-4}x-16} . Pour déterminer la dérivée de ff, nous appliquons la formule. Il vient alors que :
f′(x)=−3×−42−4x−16f'\left(x\right)=-3\times\frac{\red{-4}}{2\sqrt{\red{-4}x-16} } . Nous allons pouvoir simplifier par 22 . On a alors :
f′(x)=−3×−2−4x−16f'\left(x\right)=-3\times\frac{-2}{\sqrt{\red{-4}x-16} }
f′(x)=6−4x−16f'\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt{-4x-16} }

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