Exercices types : $$4$$^ème partie - Exercice 2

1^ère étape : On calcule $$f\left(10\right)$$
$$f\left(10\right)=\sqrt{10-6}$$ d'où $$f\left(10\right)=\sqrt{4}=2$$
2^ème étape : On calcule $$f\left(10+h\right)$$
$$f\left(10+h\right)=\sqrt{10+h-6}$$
$$f\left(10+h\right)=\sqrt{4+h}$$
3^ème étape : On calcule $$f\left(10+h\right)-f\left(10\right)$$
$$f\left(10+h\right)-f\left(10\right)=\sqrt{4+h} -2$$ .
$$f\left(10+h\right)-f\left(10\right)=\frac{\left(\sqrt{4+h} -2\right)\left(\sqrt{4+h} +2\right)}{\sqrt{4+h} +2}$$ . Nous avons ici multiplié par la quantité conjuguée $$\sqrt{4+h} +2$$.
$$f\left(10+h\right)-f\left(10\right)=\frac{\left(\sqrt{4+h} \right)^{2} -2^{2} }{\sqrt{4+h} +2}$$
$$f\left(10+h\right)-f\left(10\right)=\frac{4+h-4}{\sqrt{4+h} +2}$$
$$f\left(10+h\right)-f\left(10\right)=\frac{h}{\sqrt{4+h} +2}$$
4^ème étape : On calcule $$\frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h}$$
$$\frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\frac{\left(\frac{h}{\sqrt{4+h} +2} \right)}{h}$$
$$\frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\frac{h}{\sqrt{4+h} +2} \times \frac{1}{h}$$
$$\frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\frac{\red{\cancel{ h}}}{\sqrt{4+h} +2} \times \frac{1}{\red{\cancel{ h}}}$$
$$\frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{4+h} +2}$$
5^ème étape : On calcule $$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\lim\limits_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{4+h} +2}$$
Cela signifie que l'on remplace tous les $$h$$ par zéro.
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{4+0} +2}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\frac{1}{\sqrt{4} +2}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\frac{1}{2+2}$$
$$\lim\limits_{h\to 0} \frac{f\left(10+h\right)-f\left(10\right)}{h} =\frac{1}{4}$$
On vient de montrer que la fonction $$f$$ est dérivable en $$10$$ et de nombre dérivée $$f'\left(10\right)=\frac{1}{4}$$.