La forme uv\frac{u}{v} ou la dérivée d'un quotient - Exercice 1

12 min
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Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée en précisant leur domaine de dérivabilité.
Question 1

f(x)=3x+42x−2f\left(x\right)=\frac{3x+4}{2x-2}

Correction
ff est dérivable sur R−{1}\mathbb{R}-\left\{1\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=3x+4u\left(x\right)=3x+4 et v(x)=2x−2v\left(x\right)=2x-2
Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=2v'\left(x\right)=2.
Il vient alors que :
f′(x)=3×(2x−2)−(3x+4)×(2)(2x−2)2f'\left(x\right)=\frac{3\times \left(2x-2\right)-\left(3x+4\right)\times \left(2\right)}{\left(2x-2\right)^{2} }
f′(x)=6x−6−(6x+8)(2x−2)2f'\left(x\right)=\frac{6x-6-\left(6x+8\right)}{\left(2x-2\right)^{2} }
f′(x)=6x−6−6x−8(2x−2)2f'\left(x\right)=\frac{6x-6-6x-8}{\left(2x-2\right)^{2} }
f′(x)=−14(2x−2)2f'\left(x\right)=\frac{-14}{\left(2x-2\right)^{2} }

Question 2

f(x)=x−23x−5f\left(x\right)=\frac{x-2}{3x-5}

Correction
ff est dérivable sur R−{53}\mathbb{R}-\left\{\frac{5}{3}\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=x−2u\left(x\right)=x-2 et v(x)=3x−5v\left(x\right)=3x-5
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=3v'\left(x\right)=3.
Il vient alors que :
f′(x)=1×(3x−5)−(x−2)×3(3x−5)2f'\left(x\right)=\frac{1\times \left(3x-5\right)-\left(x-2\right)\times 3}{\left(3x-5\right)^{2} }
f′(x)=3x−5−(3x−6)(3x−5)2f'\left(x\right)=\frac{3x-5-\left(3x-6\right)}{\left(3x-5\right)^{2} }
f′(x)=3x−5−3x+6(3x−5)2f'\left(x\right)=\frac{3x-5-3x+6}{\left(3x-5\right)^{2} }
f′(x)=1(3x−5)2f'\left(x\right)=\frac{1}{\left(3x-5\right)^{2} }

Question 3

f(x)=4x+1−5x+10f\left(x\right)=\frac{4x+1}{-5x+10}

Correction
ff est dérivable sur R−{2}\mathbb{R}-\left\{2\right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=4x+1u\left(x\right)=4x+1 et v(x)=−5x+10v\left(x\right)=-5x+10
Ainsi : u′(x)=4u'\left(x\right)=4 et v′(x)=−5v'\left(x\right)=-5.
Il vient alors que :
f′(x)=4×(−5x+10)−(4x+1)×(−5)(−5x+10)2f'\left(x\right)=\frac{4\times \left(-5x+10\right)-\left(4x+1\right)\times \left(-5\right)}{\left(-5x+10\right)^{2} }
f′(x)=−20x+40−(−20x−5)(−5x+10)2f'\left(x\right)=\frac{-20x+40-\left(-20x-5\right)}{\left(-5x+10\right)^{2} }
f′(x)=−20x+40+20x+5(−5x+10)2f'\left(x\right)=\frac{-20x+40 +20x+5}{\left(-5x+10\right)^{2} }
f′(x)=45(−5x+10)2f'\left(x\right)=\frac{45}{\left(-5x+10\right)^{2} }
Question 4

f(x)=2x2−3x+15x+3f\left(x\right)=\frac{2x^{2} -3x+1}{5x+3}

Correction
ff est dérivable sur R−{−35}\mathbb{R}-\left\{\frac{-3}{5} \right\} (on enlève la valeur interdite).
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=2x2−3x+1u\left(x\right)=2x^{2} -3x+1 et v(x)=5x+3v\left(x\right)=5x+3
Ainsi : u′(x)=4x−3u'\left(x\right)=4x-3 et v′(x)=5v'\left(x\right)=5.
Il vient alors que :
f′(x)=(4x−3)×(5x+3)−(2x2−3x+1)×(5)(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{\left(4x-3\right)\times \left(5x+3\right)-\left(2x^{2} -3x+1\right)\times \left(5\right)}{\left(5x+3\right)^{2} }
f′(x)=(20x2+12x−15x−9)−(10x2−15x+5)(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{\left(20x^{2} +12x-15x-9\right)-\left(10x^{2} -15x+5\right)}{\left(5x+3\right)^{2} }
f′(x)=(20x2−3x−9)−(10x2−15x+5)(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{\left(20x^{2} -3x-9\right)-\left(10x^{2} -15x+5\right)}{\left(5x+3\right)^{2} }
f′(x)=20x2−3x−9−10x2+15x−5(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{20x^{2} -3x-9-10x^{2} +15x-5}{\left(5x+3\right)^{2} }
f′(x)=10x2+12x−14(5x+3)2f'\left(x\right)=\frac{10x^{2} +12x-14}{\left(5x+3\right)^{2} }
Question 5

f(x)=−2x−9x2+6f\left(x\right)=\frac{-2x-9}{x^{2}+6}

Correction
ff est dérivable sur R\mathbb{R} . Ici, le dénominateur ne s'annule jamais sur R\mathbb{R}.
    Deˊriveˊe du quotient\text{\purple{Dérivée du quotient}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
On reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\color{red}\boxed{\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }} avec u(x)=−2x−9u\left(x\right)=-2x-9 et v(x)=x2+6v\left(x\right)=x^{2}+6
Ainsi : u′(x)=−2u'\left(x\right)=-2 et v′(x)=2xv'\left(x\right)=2x.
Il vient alors que :
f′(x)=(−2)×(x2+6)−(−2x−9)×2x(x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{\left(-2\right)\times \left(x^{2}+6\right)-\left(-2x-9\right)\times 2x}{\left(x^{2}+6\right)^{2} }
f′(x)=−2x2−12−(−4x2−18x)(x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2}-12-\left(-4x^{2}-18x\right)}{\left(x^{2}+6\right)^{2} }
f′(x)=−2x2−12+4x2+18x(x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{-2x^{2} -12+4x^{2}+18x}{\left(x^{2}+6\right)^{2} }
f′(x)=2x2+18x−12(x2+6)2f'\left(x\right)=\frac{2x^{2}+18x-12}{\left(x^{2}+6\right)^{2} }

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