Position relative entre une courbe et sa tangente - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;-2\right[\cup \left]-2;+\infty \right[$$.
On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}$$ et $$v\left(x\right)=x+2$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=2x$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{2x\times \left(x+2\right)-x^{2} \times 1}{\left(x+2\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x^{2} +4x-x^{2} }{\left(x+2\right)^{2} }$$

Ici $$a=-1$$, ce qui donne, $$y=f'\left(-1\right)\left(x-\left(-1\right)\right)+f\left(-1\right)$$, soit $$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$
On connaît la dérivée de $$f$$ qui est $$f'\left(x\right)=\frac{x^{2} +4x}{\left(x+2\right)^{2} }$$

Calculons $$f\left(-1\right)$$ :

$$f\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)^{2} }{-1+2}$$

Calculons $$f'\left(-1\right)$$ :

$$f'\left(-1\right)=\frac{\left(-1\right)^{2} +4\times \left(-1\right)}{\left(-1+2\right)^{2} }$$
$$f'\left(-1\right)=\frac{1-4}{1}$$

On remplace les valeurs de $$f\left(-1\right)$$ et de $$f'\left(-1\right)$$ dans la formule de l'équation de tangente.
On sait que :
$$y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$
$$y=-3\times \left(x+1\right)+1$$
$$y=-3x-3+1$$
Ainsi l'équation de la tangente à la courbe $$C_{f}$$ au point d'abscisse $$-1$$ est alors

$$f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} }{x+2} -\left(-3x-2\right)$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} }{x+2} +3x+2$$
$$f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} }{x+2} +\frac{\left(3x+2\right)\left(x+2\right)}{x+2}$$
$$f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} +\left(3x+2\right)\left(x+2\right)}{x+2}$$
$$f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)=\frac{x^{2} +3x^{2} +6x+2x+4}{x+2}$$

Pour étudier la position relative de la courbe $$C_{f}$$ et de la tangente $$T$$, il nous faut alors étudier le signe de $$f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)$$.
D'après la question $$3$$, cela revient à étudier le signe de $$\frac{4x^{2} +8x+4}{x+2}$$.
$$x+2\ge 0\Leftrightarrow x\ge -2$$.
Maintenant , pour étudier le signe de $$4x^{2} +8x+4$$, nous allons étudier le discriminant.
$$\Delta =b^{2} -4ac$$ ainsi : $$\Delta =0$$
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{-8}{2\times 4}$$ d'où $$x{}_{0} =-1$$

• Comme $$a>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$x{}_{0}$$.

Nous allons maintenant donner ci-dessous le tableau de signe de $$f\left(x\right)-\left(-3x-2\right)$$.
Interprétation géométrique :

• Si $$x\in \left]-\infty ;-2\right[$$ alors $$f\left(x\right)-y<0$$ soit $$f\left(x\right)<y$$. Il en résulte que la courbe $$C_{f}$$ est en dessous de la tangente $$T$$.
  
• Si $$x\in \left]-2;-1\right[\cup\left]-1;+\infty\right[$$ alors $$f\left(x\right)-y>0$$ soit $$f\left(x\right)>y$$. Il en résulte que la courbe $$C_{f}$$ est au-dessus de la tangente $$T$$.
  
• Si $$x=-1$$ alors $$f\left(x\right)-y=0$$ soit $$f\left(x\right)=y$$ alors la courbe $$C_{f}$$ et la tangente $$T$$ sont sécantes.