Etude de fonctions - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=e^{-x} +x\left(-e^{-x} \right)$$
$$f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} -x{\color{blue}{e^{-x}}}$$

Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{-x} >0$$.
$$1-x\ge 0\Leftrightarrow -x\ge -1\Leftrightarrow x\le 1$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2x-4$$ et $$v\left(x\right)=e^{2x+3}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2$$ et $$v'\left(x\right)=2e^{2x+3}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2e^{2x+3} +\left(2x-4\right)\times \left(2e^{2x+3} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2e^{2x+3} +2x\times \left(2e^{2x+3} \right)+\left(-4\right)\times \left(2e^{2x+3} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2e^{2x+3} +4xe^{2x+3} -8e^{2x+3}$$
$$f'\left(x\right)=4x{\color{blue}{e^{2x+3}}} -6{\color{blue}{e^{2x+3}}}$$
Ainsi
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{2x+3} >0$$.
$$4x-6\ge 0\Leftrightarrow 4x\ge 6\Leftrightarrow x\ge \frac{6}{4} \Leftrightarrow x\ge \frac{3}{2}$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x+3$$ et $$v\left(x\right)=e^{5x+4}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=5e^{5x+4}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\left(-1\right)e^{5x+4} +\left(-x+3\right)\times \left(5e^{5x+4} \right)$$
$$f'\left(x\right)=-e^{5x+4} +\left(-x\right)\times 5e^{5x+4} +3\times 5e^{5x+4}$$
$$f'\left(x\right)=-e^{5x+4} -5xe^{5x+4} +15e^{5x+4}$$
$$f'\left(x\right)=14{\color{blue}{e^{5x+4}}} -5x{\color{blue}{e^{5x+4}}}$$
Ainsi
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{5x+4} >0$$.
$$-5x+14\ge 0\Leftrightarrow -5x\ge -14\Leftrightarrow x\le \frac{-14}{-5} \Leftrightarrow x\le \frac{14}{5}$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x^{2}$$ et $$v\left(x\right)=e^{-2x+1}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=2x$$ et $$v'\left(x\right)=-2e^{-2x+1}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=2xe^{-2x+1} +x^{2} \times \left(-2e^{-2x+1} \right)$$
$$f'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{-2x+1}}} -2x^{2}{\color{blue}{e^{-2x+1}}}$$

Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{-2x+1} >0$$.
Pour l'étude de $$2x-2x^{2}$$, on va utiliser le discriminant.
Nous donnons directement les résultats car le discriminant n'a maintenant plus de secret pour nous. $$\Delta =4$$ , $$x_{1} =0$$ et $$x_{2} =1$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f$$ est dérivable sur $$\left[-3 ; 8\right]$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x+3$$ et $$v\left(x\right)=e^{-x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=-e^{-x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=1\times e^{-x} +\left(x+3\right) \times \left(-e^{-x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=e^{-x} +x\times \left(-e^{-x} \right)+3\times \left(-e^{-x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=e^{-x} -xe^{-x} -3e^{-x}$$
$$f'\left(x\right)=-x{\color{blue}{e^{-x}}} -2{\color{blue}{e^{-x}}}$$

Pour tout réel $$x\in\left[-3 ; 8\right]$$, on vérifie aisément que $$e^{-x}>0$$, donc le signe de $$f'$$ dépend de $$-x-2$$.
Or : $$-x-2\ge 0\Leftrightarrow -x\ge 2\Leftrightarrow x\le -2$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left[-3 ; -2\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$
• si $$x\in\left[-2 ; 8\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$

Nous traduisons ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :
De plus :

• $$f\left(-3\right)=\left(-3+3\right)e^{3}$$ donc $$f\left(-3\right)=0$$
• $$f\left(-2\right)=\left(-2+3\right)e^{2}$$ donc $$f\left(-2\right)=e^{2}$$
• $$f\left(8\right)=\left(8+3\right)e^{-8}$$ donc $$f\left(8\right)=11e^{-8}$$