Etude de fonctions - Exercice 4

$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$.
Ici on reconnaît la forme $$\left(\frac{1}{v} \right)^{'} =\frac{-v'}{v^{2} }$$ avec $$v\left(x\right)=2+3e^{-x}$$.
Ainsi $$v'\left(x\right)=-3e^{-x}$$.
$$f'\left(x\right)=-\frac{-3e^{-x} }{\left(2+3e^{-x} \right)^{2} }$$
Il vient alors que :
Pour tout réel $$x$$, on vérifie aisément que : $$\left(2+3e^{-x} \right)^{2}>0$$. De plus , $$e^{-x}>0$$ et donc que $$3e^{-x}>0$$.
Il en résulte donc que pour tout réel $$x$$, on a : $$f'\left(x\right)>0$$. La fonction $$f$$ est donc croissante sur $$\mathbb{R}$$.