Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Soit $$g\left(x\right)=e^{x} +x+1$$
$$g$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
On a : $$g'\left(x\right)=e^{x} +1.$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} +1>0$$.
Il vient alors que :

Soit : $$f\left(x\right)=\frac{xe^{x} }{e^{x} +1}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
Ici on reconnait la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=xe^{x}$$ et $$v\left(x\right)=e^{x} +1$$.
Attention : pour $$u\left(x\right)=xe^{x}$$, lorsque nous allons faire sa dérivée il faudra utiliser la forme $$\left(uv\right)^{'}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=e^{x} +xe^{x}$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\left(e^{x} +xe^{x} \right)\left(e^{x} +1\right)-xe^{x} \times e^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$ équivaut successivement à
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{2x} +xe^{x} -xe^{2x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{2x} +e^{x} +xe^{x} }{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{e^{x} \left(e^{x} +1+x\right)}{\left(e^{x} +1\right)^{2} }$$