Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

Soit $$f\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{-2x}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$
Ici on reconnait la forme $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=4x+1$$ et $$v\left(x\right)=e^{-2x}$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=4$$ et $$v'\left(x\right)=-2e^{-2x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=4e^{-2x} +\left(4x+1\right)\left(-2e^{-2x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=4e^{-2x} +4x\times\left(-2e^{-2x} \right) +1\times\left(-2e^{-2x} \right)$$
$$f'\left(x\right)=4e^{-2x} -8xe^{-2x} -2e^{-2x}$$
$$f'\left(x\right)=2e^{-2x} -8xe^{-2x}$$ . Nous allons maintenant factoriser par $$e^{-2x}$$ .

D'après la question précédente, nous savons que : $$f'\left(x\right)=e^{-2x} \left(-8x+2\right)$$
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{-2x} >0$$.
$$-8x+2\ge 0\Leftrightarrow -8x\ge -2\Leftrightarrow x{\color{red}\le}\frac{-2}{-8} \Leftrightarrow x\le \frac{1}{4}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-8x+2$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{1}{4}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;\frac{1}{4}\right]$$ alors $$f'\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est croissante sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[\frac{1}{4};+\infty\right[$$ alors $$f'\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est décroissante sur cet intervalle.

Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :