Savoir encadrer des expressions contenant des cosinus et des sinus - Exercice 1

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Question 1
A partir de l'encadrement connu de cos⁡(x)\cos \left(x\right) et de sin⁡(x)\sin \left(x\right), déterminer un encadrement des fonctions définies suivantes sur R\mathbb{R} :

f(x)=5sin⁡(x)f\left(x\right)=5\sin \left(x\right)

Correction
Pour tout réel xx, on a :
  • −1≤sin⁡(x)≤1-1\le \sin \left(x\right)\le 1
  • −1≤cos⁡(x)≤1-1\le \cos \left(x\right)\le 1
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R} :
    −1≤sin⁡(x)≤1-1\le \sin \left(x\right)\le 1 . On multiplie par 55 tous les membres de l'inégalité :
    −5≤5sin⁡(x)≤5-5\le 5\sin \left(x\right)\le 5
    −5≤f(x)≤5-5\le f\left(x\right)\le 5

    Question 2

    g(x)=2cos⁡(x)−7g\left(x\right)=2\cos\left(x\right)-7

    Correction
    Pour tout réel xx, on a :
  • −1≤sin⁡(x)≤1-1\le \sin \left(x\right)\le 1
  • −1≤cos⁡(x)≤1-1\le \cos \left(x\right)\le 1
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R} :
    −1≤cos⁡(x)≤1-1\le \cos \left(x\right)\le 1 . On multiplie par 22 tous les membres de l'inégalité.
    −2≤2sin⁡(x)≤2-2\le 2\sin \left(x\right)\le 2 . On soustrait par 77 tous les membres de l'inégalité.
    −2−7≤2sin⁡(x)−7≤2−7-2-7\le 2\sin \left(x\right)-7\le 2-7
    −9≤g(x)≤−5-9\le g\left(x\right)\le -5
    Question 3

    h(x)=3sin⁡(x)+92h\left(x\right)=\frac{3\sin \left(x\right)+9}{2}

    Correction
    Pour tout réel xx, on a :
  • −1≤sin⁡(x)≤1-1\le \sin \left(x\right)\le 1
  • −1≤cos⁡(x)≤1-1\le \cos \left(x\right)\le 1
    • Soit x∈Rx\in \mathbb{R} :
    −1≤sin⁡(x)≤1-1\le \sin \left(x\right)\le 1
    −3≤3sin⁡(x)≤3-3\le 3\sin \left(x\right)\le 3
    −3+9≤3sin⁡(x)+9≤3+9-3+9\le 3\sin \left(x\right)+9\le 3+9
    6≤3sin⁡(x)+9≤126\le 3\sin \left(x\right)+9\le 12
    62≤3sin⁡(x)+92≤122\frac{6}{2} \le \frac{3\sin \left(x\right)+9}{2} \le \frac{12}{2}
    3≤3sin⁡(x)+92≤63\le \frac{3\sin \left(x\right)+9}{2} \le 6
    3≤h(x)≤63\le h\left(x\right)\le 6

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