Simplification d'expressions en cosinus et en sinus - Exercice 1

12 min
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Question 1
Simplifier aux maximum les expressions suivantes :

A=sin⁡(x)+cos⁡(x+π2)+sin⁡(π−x)−cos⁡(x−π2)A=\sin \left(x\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{2} \right)+\sin \left(\pi -x\right)-\cos \left(x-\frac{\pi }{2} \right).

Correction
A=sin⁡(x)+cos⁡(x+π2)+sin⁡(π−x)−cos⁡(x−π2)A=\sin \left(x\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{2} \right)+\sin \left(\pi -x\right)-\cos \left(x-\frac{\pi }{2} \right) équivaut successivement à :
A=sin⁡(x)−sin⁡(x)+sin⁡(x)−sin⁡(x)A=\sin \left(x\right)-\sin \left(x\right)+\sin \left(x\right)-\sin \left(x \right)
D'où :
A=0A=0
Question 2

B=sin⁡(x+π)+sin⁡(x−π)−2sin⁡(−x)B=\sin \left(x+\pi \right)+\sin \left(x-\pi \right)-2\sin \left(-x\right).

Correction
B=sin⁡(x+π)+sin⁡(x−π)−2sin⁡(−x)B=\sin \left(x+\pi \right)+\sin \left(x-\pi \right)-2\sin \left(-x\right) équivaut successivement à :
B=−sin⁡(x)+(−sin⁡(x))+2sin⁡(x)B=-\sin \left(x \right)+\left(-\sin \left(x \right)\right)+2\sin \left(x\right)
B=−sin⁡(x)−sin⁡(x)+2sin⁡(x)B=-\sin \left(x \right)-\sin \left(x \right)+2\sin \left(x\right)
Ainsi :
B=0B=0
Question 3

C=cos⁡(x+π)−3sin⁡(π2+x)+cos⁡(5π+x)C=\cos \left(x+\pi \right)-3\sin \left(\frac{\pi }{2} +x\right)+\cos \left(5\pi +x\right).

Correction
C=cos⁡(x+π)−3sin⁡(π2+x)+cos⁡(5π+x)C=\cos \left(x+\pi \right)-3\sin \left(\frac{\pi }{2} +x\right)+\cos \left(5\pi +x\right).
C=−cos⁡(x)−3cos⁡(x)+cos⁡(4π+π+x)C=-\cos \left(x\right)-3\cos \left(x\right)+\cos \left(4\pi +\pi +x\right)
C=−cos⁡(x)−3cos⁡(x)+cos⁡(2×2π+π+x)C=-\cos \left(x\right)-3\cos \left(x\right)+\cos \left(2\times 2\pi +\pi +x\right)
C=−cos⁡(x)−3cos⁡(x)+cos⁡(π+x)C=-\cos \left(x\right)-3\cos \left(x\right)+\cos \left(\pi +x\right)
C=−4cos⁡(x)+cos⁡(π+x)C=-4\cos \left(x\right)+\cos \left(\pi +x\right)
C=−4cos⁡(x)−cos⁡(x)C=-4\cos \left(x\right)-\cos \left(x\right)
Finalement :
C=−5cos⁡(x)C=-5\cos \left(x\right)

Question 4

D=cos⁡(x−3π2)−2cos⁡(π2−x)+sin⁡(7π+x)D=\cos \left(x-\frac{3\pi }{2} \right)-2\cos \left(\frac{\pi }{2} -x\right)+\sin \left(7\pi +x\right).

Correction
D=cos⁡(x−3π2+2π)−2cos⁡(π2−x)+sin⁡(6π+π+x)D=\cos \left(x-\frac{3\pi }{2} +2\pi \right)-2\cos \left(\frac{\pi }{2} -x\right)+\sin \left(6\pi +\pi +x\right)
D=cos⁡(x−3π2+2π)−2cos⁡(π2−x)+sin⁡(3×2π+π+x)D=\cos \left(x-\frac{3\pi }{2} +2\pi \right)-2\cos \left(\frac{\pi }{2} -x\right)+\sin \left(3\times2\pi +\pi +x\right)
D=cos⁡(x+π2)−2cos⁡(π2−x)+sin⁡(π+x)D=\cos \left(x+\frac{\pi }{2} \right)-2\cos \left(\frac{\pi }{2} -x\right)+\sin \left(\pi +x\right)
D=−sin⁡(x)−2sin⁡(x)−sin⁡(x)D=-\sin \left(x\right)-2\sin \left(x\right)-\sin \left(x\right)
Finalement :
D=−4sin⁡(x)D=-4\sin \left(x\right)

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