Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

$$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de la droite $$\left(d\right)$$, on en déduit que : $$b=1$$ et $$a=4$$.
Ainsi , on a : $$4x+y+c=0$$.
Or le point $$A\left(-2;3\right)$$ appartient à la droite $$\left(d\right)$$, donc les coordonnées du point $$A\left(-2;3\right)$$ vérifie $$4x+y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$4x_{A} +y_{A} +c=0$$
$$4\times \left(-2\right)+3+c=0$$
$$-8+3+c=0$$
$$-5+c=0$$
$$c=5$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d\right)$$ admettant $$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {4} \end{array}\right)$$ comme vecteur directeur et passant par le point $$A\left(-2;3\right)$$ est : $$4x+y+5=0$$.

Nous allons calculer le vecteur $$\overrightarrow{BC}$$ qui sera un vecteur directeur de la droite $$\left(d\right)$$.
$$\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {1-\left(-5\right)} \\ {-4-\left(-3\right)} \end{array}\right)$$ d'où $$\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-1} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{BC} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-1} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de la droite $$\left(d\right)$$, on en déduit que : $$b=-6$$ et $$a=-1$$.
Ainsi , on a : $$-x-6y+c=0$$.
Or le point $$B\left(-5;-3\right)$$ appartient à la droite $$\left(d\right)$$, donc les coordonnées du point $$B\left(-5;-3\right)$$ vérifie $$-x-6y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-x_{B} -6y_{B} +c=0$$
$$-\left(-5\right)-6\times \left(-3\right)+c=0$$
$$5+18+c=0$$
$$23+c=0$$
$$c=-23$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(BC\right)$$ autrement dit la droite $$\left(d\right)$$ est : $$-x-6y-23=0$$.

Le vecteur directeur $$\overrightarrow{u} =-3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}$$ s'écrit également : $$\vec{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$$.
$$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de la droite $$\left(d\right)$$, on en déduit que : $$b=3$$ et $$a=2$$.
Ainsi, on a : $$2x+3y+c=0$$.
Or le point $$D\left(-2;3\right)$$ appartient à la droite $$\left(d\right)$$, donc les coordonnées du point $$D\left(-2;3\right)$$ vérifie $$2x+3y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$2x_{D} +3y_{D} +c=0$$
$$2\times \left(-2\right)+3\times 3+c=0$$
$$-4+9+c=0$$
$$5+c=0$$
$$c=-5$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(d\right)$$ admettant $$\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$$ comme vecteur directeur et passant par le point $$D\left(-2;3\right)$$ est : $$2x+3y-5=0$$.

La forme réduite d'une droite (vue en classe de seconde) est $$y=mx+p$$ où $$m$$ est le coefficient directeur et $$p$$ l'ordonnée à l'origine.
Ici on sait que $$m=\frac{2}{3}$$.
Il en résulte que la droite $$\left(d\right)$$ s'écrit : $$y=\frac{2}{3} x+p$$
Or le point $$E\left(1;-1\right)$$ appartient à la droite $$\left(d\right)$$, donc les coordonnées du point $$E\left(1;-1\right)$$ vérifie $$y=\frac{2}{3} x+p$$.
Il vient alors que :
$$y_{E} =\frac{2}{3} x_{E} +p$$
$$-1=\frac{2}{3} \times 1+p$$
$$-1=\frac{2}{3} +p$$
$$-1-\frac{2}{3} =p$$
$$-\frac{5}{3} =p.$$
Finalement, la forme réduite de la droite passant par le point $$E\left(1;-1\right)$$ et de coefficient directeur $$\frac{2}{3}$$ est : $$y=\frac{2}{3} x-\frac{5}{3}$$.
A partir de cette forme réduite, on peut déterminer l'équation cartésienne de la droite $$\left(d\right)$$.
$$y=\frac{2}{3} x-\frac{5}{3}$$ équivaut successivement à :
$$y-\frac{2}{3} x+\frac{5}{3} =0$$
On va multiplier les membres par $$3$$ afin de ne plus avoir de dénominateur.
$$3y-2x+5=0.$$
L'équation cartésienne de la droite $$\left(d\right)$$ est alors : $$-2x+3y+5=0$$.