Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Nous allons travailler dans un repère . Il s'agit du repère $$\left(O;\overrightarrow{OM} ;\overrightarrow{ON} \right)$$ que nous avons mis en rouge sur le graphique ci-dessous.
Il en résulte donc que nous avons maintenant les coordonnées des points $$O\left(0,0\right)$$ , $$M\left(1,0\right)$$ et $$N\left(0,1\right)$$
De plus :
$$\overrightarrow{OM} \left(\begin{array}{c} {x_{M}-x_{O}} \\ {y_{M}-y_{O}} \end{array}\right)$$ ce qui donne $$\overrightarrow{OM} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{ON} \left(\begin{array}{c} {x_{N}-x_{O}} \\ {y_{N}-y_{O}} \end{array}\right)$$ ce qui donne $$\overrightarrow{ON} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right)$$
$$1$$^ère étape : Déterminer les coordonnées du point $$A$$.
Or, d'après la relation de Chasles, nous pouvons écrire que :
$$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{LA}$$.
Comme $$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OJ}$$ et que $$\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{LO}$$ alors $$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{LO}$$. Ainsi : $$\overrightarrow{LO}=3\overrightarrow{ON}$$ . Enfin : $$\overrightarrow{OL}=-3\overrightarrow{ON}$$
Comme $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OI}$$ et que $$\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{AL}$$ alors $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AL}$$. Ainsi : $$\overrightarrow{AL}=4\overrightarrow{OM}$$. Enfin : $$\overrightarrow{LA}=-4\overrightarrow{OM}$$
Nous avions : $$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{LA}$$ qui s'écrit maintenant : $$\overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{ON}-4\overrightarrow{OM}$$. Nous savons que : $$\overrightarrow{OM} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)$$
et que $$\overrightarrow{ON} \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right)$$
Il en résulte donc que : $$\overrightarrow{OA}=-3\times\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right)-4\times\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)$$. Finalement $$\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-3} \end{array}\right)$$. Comme le point $$O$$ est l'origine du repère alors les coordonnées du point $$A$$ sont $$A\left(-4,-3\right)$$
$$2$$^ème étape : Déterminer les coordonnées du point $$C$$.
Comme $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OI}$$ alors $$\overrightarrow{OI}=4\overrightarrow{OM}$$
Comme $$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OJ}$$ alors $$\overrightarrow{OJ}=3\overrightarrow{OM}$$ . De plus : $$\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{IC}$$ ainsi : $$\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{OM}$$
D'après la relation de Chasles, on a :
$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}$$
$$\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{OM}$$
$$\overrightarrow{OC}=4\times\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)+3\times\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{OC}=\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)$$ . Comme le point $$O$$ est l'origine du repère alors les coordonnées du point $$C$$ sont $$A\left(4,3\right)$$.
$$3$$^ème étape : Calcul des vecteurs $$\overrightarrow{NA}$$ et $$\overrightarrow{MC}$$.
On a :
$$\overrightarrow{NA} \left(\begin{array}{c} {x_{A}-x_{N}} \\ {y_{A}-y_{N}} \end{array}\right)$$ ce qui donne $$\overrightarrow{NA} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-4} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{MC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{M}} \\ {y_{C}-y_{M}} \end{array}\right)$$ ce qui donne $$\overrightarrow{MC} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \end{array}\right)$$
On a : $$-4\times 3-3\times \left(-4\right)=-12+12=0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{NA}$$ et $$\overrightarrow{MC}$$ sont colinéaires.
Les droites $$\left(NA\right)$$ et $$\left(MC\right)$$ sont bien parallèles.