Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

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Soit ABCDABCD un parallélogramme. On considère les points GG et HH par : GA→=35GB→\overrightarrow{GA} =\frac{3}{5}\overrightarrow{GB} et AH→=3AC→\overrightarrow{AH} =3\overrightarrow{AC}.
Question 1

Exprimer le vecteur GA→\overrightarrow{GA} en fonction du vecteur AB→\overrightarrow{AB}

Correction
Nous savons que :
GA→=35GB→\overrightarrow{GA} =\frac{3}{5}\overrightarrow{GB}, il vient alors que :
5GA→=3GB→5\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{GB}, puis d'après la relation de Chasles, on a :
5GA→=3(GA→+AB→)5\overrightarrow{GA} =3(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})
5GA→=3GA→+3AB→5\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AB}
5GA→−3GA→=3AB→5\overrightarrow{GA} -3\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{AB}
2GA→=3AB→2\overrightarrow{GA} =3\overrightarrow{AB}
D'où :
GA→=32AB→\overrightarrow{GA} =\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}
Question 2

Exprimer les vecteur GD→\overrightarrow{GD} et GH→\overrightarrow{GH} en fonction des vecteur AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

Correction
D'une part :
GD→=GA→+AC→+CD→\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} d'après la relation de Chasles :
GD→=32AB→+AC→+CD→\overrightarrow{GD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} . Comme ABCDABCD un parallélogramme alors CD→=−AB→\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}
GD→=32AB→+AC→−AB→\overrightarrow{GD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}
GD→=12AB→+AC→\overrightarrow{GD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}

D'autre part :
GH→=GA→+AH→\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AH} d'après la relation de Chasles :
GH→=32AB→+AH→\overrightarrow{GH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH} car GA→=32AB→\overrightarrow{GA} =\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}
GH→=32AB→+3AC→\overrightarrow{GH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}
car AH→=3AC→\overrightarrow{AH} =3\overrightarrow{AC}
Question 3

Que peut-on en déduire pour les points GG,DD et HH.

Correction
On sait que : GH→=32AB→+3AC→\overrightarrow{GH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC} et GD→=12AB→+AC→\overrightarrow{GD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}. Il en résulte donc que :
GH→=3GD→\overrightarrow{GH}=3\overrightarrow{GD}

Les vecteurs GH→\overrightarrow{GH} et GD→\overrightarrow{GD} sont colinéaires. Les points GG,DD et HH sont donc alignés.

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