Etudier le sens de variation d’une suite (un)(u_{n}) à l'aide de un+1−unu_{n+1} -u_{n} - Exercice 2

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Soit nn un entier naturel non nul.
Pour les cas suivants, étudier le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).
On peut également demander d'étudier la monotonie de la suite (un)\left(u_{n} \right).
Ces deux questions sont identiques.
Question 1

un=4nu_{n} =4^{n}

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=4nu_{n} =4^{n} alors :
un+1=4n+1u_{n+1} =4^{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=4n+1−4nu_{n+1} -u_{n} =4^{n+1} -4^{n}
  • an+1=an×a1a^{n+1} =a^{n} \times a^{1}
un+1−un=4n×41−4nu_{n+1} -u_{n} =4^{n} \times 4^{1} -4^{n}
un+1−un=4n×4−4n×1u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}4^{n}} \times 4-{\color{blue}4^{n}} \times 1
un+1−un=4n×(4−1)u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}4^{n}} \times \left(4-1\right) . Nous avons ici factorisé par 4n{\color{blue}4^{n}} .
un+1−un=4n×3u_{n+1} -u_{n} =4^{n} \times 3
Or : 4n>04^{n}>0 et 3>03>0
Il en résulte que 4n×3>04^{n} \times 3> 0 ce qui signifie que 4n×3≥04^{n} \times 3\ge 0
Comme un+1−un=4n×3u_{n+1} -u_{n} =4^{n} \times 3 donc un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}
Question 2

un=3n+7nu_{n} =3^{n} +7^{n}

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=3n+7nu_{n} =3^{n} +7^{n} alors :
un+1=3n+1+7n+1u_{n+1} =3^{n+1} +7^{n+1}
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} puis étude du signe de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=3n+1+7n+1−(3n+7n)u_{n+1} -u_{n} =3^{n+1} +7^{n+1} -\left(3^{n} +7^{n} \right)
  • an+1=an×a1a^{n+1} =a^{n} \times a^{1}
un+1−un=3n×31+7n×71−(3n+7n)u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 3^{1} +7^{n} \times 7^{1} -\left(3^{n} +7^{n} \right)
un+1−un=3n×31+7n×71−3n−7nu_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 3^{1} +7^{n} \times 7^{1} -3^{n} -7^{n}
un+1−un=3n×31−3n+7n×71−7nu_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 3^{1} -3^{n} +7^{n} \times 7^{1} -7^{n} . On met côte à côté les expressions 3n3^{n} et 7n7^{n} ensemble .
un+1−un=3n×3−3n+7n×7−7nu_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 3-3^{n} +7^{n} \times 7-7^{n}
un+1−un=3n×3−3n×1+7n×7−7n×1u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}3^{n}} \times 3-{\color{blue}3^{n}} \times 1+{\color{red}7^{n}} \times 7-{\color{red}7^{n}} \times 1
un+1−un=3n×(3−1)+7n×(7−1)u_{n+1} -u_{n} ={\color{blue}3^{n}} \times \left(3-1\right)+{\color{red}7^{n}} \times \left(7-1\right)
un+1−un=3n×2+7n×6u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 2+7^{n} \times 6
Or : 4n>04^{n}>0 ; 2>02>0 ; 7n>07^{n}>0 et 6>06>0
Il en résulte que 3n×2+7n×6>03^{n} \times 2+7^{n} \times 6> 0 ce qui signifie que 3n×2+7n×6≥03^{n} \times 2+7^{n} \times 6\ge 0
Comme un+1−un=3n×2+7n×6u_{n+1} -u_{n} =3^{n} \times 2+7^{n} \times 6 donc un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  croissante.\red{\text{ croissante.}}

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