Expression récurrente d'une suite et calculs de ses premiers termes - Exercice 3

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COMPETENCES‾  :  Calculer.{\color{red}\underline{COMPETENCES}\;:\;Calculer.}     \;\;
Soit nn un entier naturel. On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par : {u0=2un+1=3(un)2−4un+2n−5\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5} \end{array}\right.
Question 1

Calculer u1u_{1} et u2u_{2} .

Correction
  • Pour calculer u1u_{1} , dans la formule un+1=3(un)2−4un+2n−5u_{n+1} =3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5, on va remplacer la valeur de nn par 00.
    • Il vient alors :
    u0+1=3(u0)2−4u0+2×0−5u_{0+1} =3\left(u_{0} \right)^{2} -4u_{0} +2\times 0-5 . Or u0=2u_0=2, il vient alors que :
    u1=3×22−4×2+2×0−5u_{1} =3\times2^{2} -4\times2 +2\times 0-5
    u1=3×4−8−5u_{1} =3\times4 -8 -5
    u1=12−8−5u_{1} =12 -8 -5
    Ainsi :
    u1=−1u_{1} =-1

  • Pour calculer u2u_{2} , dans la formule un+1=3(un)2−4un+2n−5u_{n+1} =3\left(u_{n} \right)^{2} -4u_{n} +2n-5, on va remplacer la valeur de nn par 11.

    • Il vient alors :
    u1+1=3(u1)2−4u1+2×1−5u_{1+1} =3\left(u_{1} \right)^{2} -4u_{1} +2\times 1-5 . Or u1=−1u_1=-1, il vient alors que :
    u2=3×(−1)2−4×(−1)+2×1−5u_{2} =3\times\left(-1 \right)^{2} -4\times\left(-1 \right) +2\times1-5
    u2=3×1+4+2−5u_{2} =3\times1 +4+2-5
    u2=3+4+2−5u_{2} =3 +4+2-5
    Ainsi :
    u2=4u_{2} =4

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