Exercices types : Anciennement ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU - Exercice 2

Le cercle $$\mathscr{C}$$ de centre $$A$$ passant par $$B$$ admet $$\left[AB\right]$$ comme rayon.
Calculons donc la distance $$AB$$.
$$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }$$
$$AB=\sqrt{\left(1-\left(-2\right)\right)^{2} +\left(2-1\right)^{2} }$$
$$AB=\sqrt{3^{2} +1^{2} }$$
$$AB=\sqrt{10}$$
Nous appliquons directement la formule de l'équation d'un cercle de centre $$A$$ passant par $$B$$.. Ce qui nous donne :
$$\left(x-\left(-2\right)\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =\left(\sqrt{10}\right)^{2}$$
Ainsi :

$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1-\left(-2\right)} \\ {2-1} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {x_{E} -x_{A} } \\ {y_{E} -y_{A} } \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {0-\left(-2\right)} \\ {-5-1} \end{array}\right)\Leftrightarrow \overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-6} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} =3\times 2+1\times \left(-6\right)$$
$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} =6-6$$
Ainsi :

D'après la question précédente nous savons que : $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} =0$$
Il en résulte donc que les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AE}$$ sont orthogonaux, donc que les droites $$\left(AB\right)$$ et $$\left(AE\right)$$ sont perpendiculaires.

On rappelle que $$A\left(-2 ; 1\right)$$ et $$E\left(0 ; -5\right)$$.
Le vecteur $$\overrightarrow{AE}$$ est un vecteur directeur de la droite $$\left(AE\right)$$.
$$\overrightarrow{AE} \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-6} \end{array}\right)$$ étant un vecteur directeur de $$\left(AE\right)$$, on en déduit que : $$-b=2$$ et $$a=-6$$. D'où : $$b=-2$$ et $$a=-6$$.
Ainsi , on a : $$-6x-2y+c=0$$.
Or le point $$E\left(0;-5\right)$$ appartient à la droite $$\left(AE\right)$$, donc les coordonnées du point $$E\left(0;-5\right)$$ vérifie $$-6x-2y+c=0$$.
Il vient alors que :
$$-6x_{E} -2y_{E} +c=0$$
$$-6\times 0-2\times\left(-5\right)+c=0$$
$$10+c=0$$
$$c=-10$$
Finalement, l'équation cartésienne de la droite $$\left(AE\right)$$ est : $$-6x-2y-10=0$$.
Nous pouvons simplifier tous les termes par $$-2$$ ce qui nous donne : .

Pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de $$\left(AE\right)$$ et du cercle $$\mathscr{C}$$, il nous faut résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} } & {=} & {10} \\ {3x+y+5} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
Nous allons commencer par développer l'expression : $$\left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =10$$
Il vient alors :
$$\left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =10$$
$$x^{2} +4x+4+y^{2} -2y+1=10$$
$$x^{2} +4x+y^{2} -2y-5=0$$
Le système s'écrit maintenant :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+y^{2} -2y-5} & {=} & {0} \\ {3x+y+5} & {=} & {0} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+y^{2} -2y-5} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+\left(-3x-5\right)^{2} -2\times \left(-3x-5\right)-5} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+9x^{2} +30x+25+6x+10-5} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {10x^{2} +40x+30} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2} +4x+3} & {=} & {0} \\ {y} & {=} & {-3x-5} \end{array}\right.$$
Il nous reste à résoudre l'équation $$x^{2} +4x+3=0$$
Ainsi : $$\Delta =4^{2} -4\times 1\times 3$$
$$\Delta =4$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-4-\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =-3$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-4+\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =-1$$
Il s'ensuit que :

Si $$x=-3$$ alors $$y=-3\times\left(-3\right)-5$$ d'où : $$y=4$$

Si $$x=-1$$ alors $$y=-3\times\left(-1\right)-5$$ d'où : $$y=-2$$

Les coordonnées des points d’intersection de $$\left(AE\right)$$ et du cercle $$\mathscr{C}$$ sont alors les points $$\left(-1 ; -2\right)$$ et $$\left(-3 ; 4\right)$$.