Produit scalaire : définition par la norme - Exercice 1

10 min
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Calculer AB→⋅AD→\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} à l'aide de la figure ci-dessous :
Question 1

Correction
On appelle produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v}, le nombre réel noté u→⋅v→\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} tel que :
u→⋅v→=12(∥u→+v→∥2−∥u→∥2−∥v→∥2)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(∥AB→+AD→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
Comme ABCDABCD est un parallélogramme, on a : AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, il vient alors que :
AB→⋅AD→=12(∥AB→+BC→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(∥AC→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(AC2−AB2−AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(AC^{2} -AB^{2} -AD^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(112−52−32)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(11^{2} -5^{2} -3^{2} \right)
AB→⋅AD→=12×87\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \times 87
Ainsi :
AB→⋅AD→=872\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{87}{2}

Question 2

Correction
On appelle produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v}, le nombre réel noté u→⋅v→\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} tel que :
u→⋅v→=12(∥u→+v→∥2−∥u→∥2−∥v→∥2)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(∥AB→+AD→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
Comme ABCDABCD est un parallélogramme, on a : AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, il vient alors que :
AB→⋅AD→=12(∥AB→+BC→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(∥AC→∥2−∥AB→∥2−∥AD→∥2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(AC2−AB2−AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(AC^{2} -AB^{2} -AD^{2} \right)
AB→⋅AD→=12(92−62−42)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(9^{2} -6^{2} -4^{2} \right)
AB→⋅AD→=12×29\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \times 29
Ainsi :
AB→⋅AD→=292\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{29}{2}

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