Propriétés de calculs du produit scalaire : symétrie, bilinéarité - Exercice 2

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Soient u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} deux vecteurs tels que : ∥u→∥=4\left\| \overrightarrow{u} \right\| =4 ; ∥v→∥=5\left\| \overrightarrow{v} \right\| =5 et u→⋅v→=12\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =12
Question 1

Calculer : u→⋅(u→+v→)\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)

Correction
Soient trois vecteurs u→\overrightarrow{u} ; v→\overrightarrow{v} et w→\overrightarrow{w} alors :
  • u→⋅(v→+w→)=u→⋅v→+u→⋅w→\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{v} +\overrightarrow{w} \right)=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}
  • u→⋅u→=∥u→∥2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2}
u→⋅(u→+v→)=u→⋅u→+u→⋅v→\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} +\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} équivaut successivement à :
u→⋅(u→+v→)=∥u→∥2+u→⋅v→\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)=\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} +\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}
u→⋅(u→+v→)=42+12\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)=4 ^{2} +12
u→⋅(u→+v→)=16+12\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)=16 +12
u→⋅(u→+v→)=28\overrightarrow{u} \cdot \left(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)=28

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