Vecteurs orthogonaux - Exercice 3

6 min
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Dans toutes les questions nous nous placerons dans un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)
Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont-elles perpendiculaires?
Question 1

A(1;2)A\left(1;2\right) , B(2;−1)B\left(2;-1\right) , C(4;7)C\left(4;7\right) et D(0;5)D\left(0;5\right)

Correction
Nous allons commencer par calculer AB→\overrightarrow{AB} qui correspond à un vecteur directeur de la droite (AB)\left(AB\right) et CD→\overrightarrow{CD} qui correspond à un vecteur directeur de la droite (CD)\left(CD\right) .
AB→(xB−xAyB−yA)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B} -x_{A} } \\ {y_{B} -y_{A} } \end{array}\right) d'où AB→(2−1−1−2)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {2-1} \\ {-1-2} \end{array}\right) ainsi : AB→(1−3)\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-3} \end{array}\right)
CD→(xD−xCyD−yC)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {x_{D} -x_{C} } \\ {y_{D} -y_{C} } \end{array}\right) d'où CD→(0−45−7)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {0-4} \\ {5-7} \end{array}\right) ainsi : CD→(−4−2)\overrightarrow{CD} \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {-2} \end{array}\right)
Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont orthogonaux.
  • Dans un repère orthonormé (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , si le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} est nul alors les vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux. Autrement dit :
    u→⋅v→=0⇔\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=0 \Leftrightarrow u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont orthogonaux
AB→⋅CD→=1×(−4)+(−3)×(−2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{CD}=1\times \left(-4\right) + \left(-3\right)\times \left(-2\right)
AB→⋅CD→=−4+6\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{CD}=-4+6
AB→⋅CD→=2≠0\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{CD} =2\ne 0

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ne sont pas orthogonaux.
Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) ne sont pas perpendiculaires.

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