Exercices types : Comment bien choisir la forme adaptée d'une fonction polynôme du second degré $$\red{\text{(sans discriminant)}}$$ - Exercice 1

Nous savons que $$f\left(x\right)=x^{2}-8x+7$$ . Nous avons $$a=1\ne 0$$ ; $$b=-8$$ et $$c=7$$ .
Il en résulte donc que $$f$$ est une fonction polynôme du second degré.
La forme $$f\left(x\right)=x^{2}-8x+7$$ est$$\red{\text{ appelée la forme développée de}}$$ $$\red{f}$$ .

Soit $$f\left(x\right)=x^{2}-8x+7$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-8$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=7$$

2^ème étape : Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-\left(-8\right)}{2\times1}$$ d'où :
3^ème étape : Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(4 \right)$$
$$\beta =4^{2} -8\times4+7$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la forme canonique est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne :

D'après la question $$2$$, nous savons que : $$f\left(x\right)=\left(x-4 \right)^{2} -9$$
$$f\left(x\right)=\left(x-4 \right)^{2} -9$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}x-4}\right)^{2} -{\color{red}3}^{2}$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}x-4}$$ et $$b={\color{red}3}$$. Il vient alors que :
$$f\left(x\right)=\left({\color{blue}x-4}-{\color{red}3}\right)\left({\color{blue}x-4}+{\color{red}3}\right)$$
Ainsi :

Il nous faut donc calculer $$f\left(0\right)$$
Nous allons utiliser la forme $$f\left(x\right)=x^{2}-8x+7$$. Ainsi :
$$f\left(0\right)=0^{2} -8\times0+7$$
D'où :

Il nous faut donc calculer $$f\left(1\right)$$
Nous allons utiliser la forme factorisée $$f\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(x-1\right)$$. Ainsi :
$$f\left(1\right)=\left(1-7\right)\left(1-1\right)$$
$$f\left(1\right)=\left(-6\right)\times0$$
D'où :

Pour résoudre l'équation $$f\left(x\right)=\red{7}$$ nous allons utiliser la forme développée $$f\left(x\right)=x^{2}-8x+\red{7}$$ .
Il vient alors :
$$f\left(x\right)=7$$ équivaut successivement à :
$$x^{2}-8x+7=7$$
$$x^{2}-8x=7-7$$
$$x^{2}-8x=0$$
Le facteur commun ici est $${\color{blue}x}$$.
$${\color{blue}x}\times x-8\times {\color{blue}x}=0$$ . On factorise maintenant par $${\color{blue}x}$$ .
$${\color{blue}x}\left(x-8\right)=0$$ . $$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}$$
$$x=0$$ ou $$x-8=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$x-8=0$$ qui donne $$x=8$$.

Les solutions de l'équation $$f\left(x\right)=7$$ sont alors :

Pour résoudre l'inéquation $$f\left(x\right)>\pink{-9}$$ nous allons utiliser la forme canonique $$f\left(x\right)=\left(x-4 \right)^{2} \pink{-9}$$
Il vient alors :
$$f\left(x\right)>-9$$ équivaut successivement à :
$$\left(x-4 \right)^{2} -9>-9$$
$$\left(x-4 \right)^{2} >-9+9$$
$$\left(x-4 \right)^{2} >0$$
Lorsque $$x=4$$ l'expression $$\left(x-4 \right)^{2}=0$$.
Par définition, un carré est positif ou nul. Cela signifie que si $$x\ne 4$$ alors l'expression $$\left(x-4 \right)^{2}$$ sera strictement positive.
Autrement dit, $$f\left(x\right)>-9$$ pour tous les réels sauf pour $$x=4$$
Il en résulte donc que l'ensemble des solutions de l'inéquation $$f\left(x\right)>-9$$ est :