Exercices types : Résoudre une équation du second degré $$\red{\text{(sans utiliser le discriminant)}}$$ - Exercice 1

$$9x^{2} =81$$ équivaut successivement à
$$9x^{2}-81 = 0$$
$$\left({\color{blue}3x}\right)^{2} -{\color{red}9}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}3x}$$ et $$b={\color{red}9}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}3x}-{\color{red}9}\right)\left({\color{blue}3x}+{\color{red}9}\right)=0$$ $$\;\;\;$$ $$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}$$
$$3x-9=0$$ ou $$3x+9=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$3x-9=0$$ qui donne $$3x=9$$. D'où : $$x=\frac{9}{3}=3$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$3x+9=0$$ qui donne $$3x=-9$$. D'où : $$x=-\frac{9}{3}=-3$$

L'équation a donc deux solutions

$$\frac{1}{3}x-3x^{2}=0$$ équivaut successivement à :
Le facteur commun ici est $${\color{blue}x}$$.
$${\color{blue}x}\times \frac{1}{3}-3\times x\times {\color{blue}x}=0$$ . On factorise maintenant par $${\color{blue}x}$$ .
$${\color{blue}x}\left(\frac{1}{3}-3x\right)=0$$. $$\;\;\;$$ $$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}$$
$$x=0$$ ou $$\frac{1}{3}-3x=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$\frac{1}{3}-3x=0$$ qui donne $$-3x=-\frac{1}{3}$$. D'où : $$x=\frac{-\frac{1}{3}}{-3}=\frac{1}{9}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$2x^{2} +5=3$$ équvaut successivement à :
$$2x^{2} =3-5$$
$$2x^{2} =-2$$
$$x^{2} =-\frac{2}{2}$$
$$x^{2} =-1$$
Attention, ici pour cette équation $$x^{2}=-1$$, il est impératif de se souvenir $$\red{\text{qu'un carrée est positif ou nul}}$$
Il en résulte donc que l'on ne peut pas avoir de solutions réelles à l'équation $$x^{2}=-1$$ .
On écrit alors :

$$9x^{2}-30x+25=0$$
$$\left({\color{blue}3x}\right)^{2} -2\times {\color{blue}3x}\times {\color{red}5}+{\color{red}5}^{2}$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}3x}$$ et $$b={\color{red}5}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}3x}-{\color{red}5}\right)^{2}=0$$
$$3x-5=0$$
$$3x=5$$
$$x=\frac{5}{3}$$
La solution de l'équation $$9x^{2}-30x+25=0$$ est alors :

$$\left(3x+5\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$\left(3x+5\right)^{2}-\left(2x-7\right)^{2}=0$$
$$\left({\color{blue}3x+5}\right)^{2}-\left({\color{red}2x-7}\right)^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}3x+5}$$ et $$b={\color{red}2x-7}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}\left(3x+5\right)}-{\color{red}\left(2x-7\right)}\right)\left({\color{blue}3x+5}+{\color{red}2x-7}\right)=0$$
$$\left(3x+5-2x+7\right)\left(3x+5+2x-7\right)=0$$ $$\;\;$$ $$\pink{\text{Ne pas oublier de changer les signes dans la première parenthèse.}}$$
Ainsi : $$\;\;\;$$ $$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}$$
$$x+12=0$$ ou $$5x-2=0$$

$$\red{\text{D'une part :}}$$ résolvons $$x+12=0$$ qui donne $$x=-12$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$ résolvons $$5x-2=0$$ qui donne $$5x=2$$. D'où : $$x=\frac{2}{5}$$

Les solutions de l'équation sont alors :