Position relative entre deux courbes - Exercice 1

La forme canonique d'un trinôme du second degré est :
$$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ où $$S\left(\alpha ;\beta \right)$$ correspond au sommet de la parabole.
Si $$a>0$$ alors le tableau de variation de $$f$$ est :

Si $$a<0$$ alors le tableau de variation de $$f$$ est :

A l'aide de la forme canonique, on détermine facilement le sommet de la parabole.
Comme : $$f(x)=-2(x+3)^{2}+5$$
On note $$S\left(x_{S} ;y_{S} \right)$$ le sommet de la parabole.
Ici, nous avons $$a=-2$$, $$x_{S} =-3$$ et $$y_{S} =5$$.
$$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas et $$S\left(-3;5\right)$$ est le sommet de la parabole (plus précisément un maximum).
Le tableau de variation est alors :

Pour déterminer les coordonnées des points d'intersections de $$\mathscr{C_{f}}$$ avec la droite $$d$$ d'équation $$y=3$$, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=3$$.
Il vient alors que :
$$-2(x+3)^{2}+5=3$$ équivaut successivement à :
$$-2\left(x^{2} +6x+9\right)+5=3$$
$$-2x^{2} -12x-18+5=3$$
$$-2x^{2} -12x-13=3$$
$$-2x^{2} -12x-13-3=0$$
$$-2x^{2} -12x-16=0$$ . Il s'agit d'une équation du second degré que nous allons résoudre avec le discriminant.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-12$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-16$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-12\right)^{2} -4\times \left(-2\right)\times \left(-16\right)$$
$$\Delta =144-128=16$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{16} }{2\times \left(-2\right)}$$ d'où $$x{}_{1} =-2$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{16} }{2\times \left(-2\right)}$$ d'où $$x{}_{2} =-4$$
Les racines de l'équation $$f\left(x\right)=3$$ sont donc $$S=\left\{-4;-2\right\}$$ . Il s'agit des abscisses des points qui vérifient $$f\left(x\right)=3$$ .
Il en résulte que les coordonnées des points d'intersections de $$\mathscr{C_{f}}$$ avec la droite $$d$$ d'équation $$y=3$$ sont les points $$A$$ et $$B$$ de coordonnées $$A\left(-2;3\right)$$ et $$B\left(-4;3\right)$$.

On sait que la forme canonique de $$f$$ est $$f(x)=-2(x+3)^{2}+5$$ et la forme développée de $$f$$ est alors : $$f(x)=-2x^{2}-12x-13$$.
Ainsi :
$$f(x) - g(x)$$ équivaut successivement à :
$$f(x) - g(x)=-2x^{2}-12x-13-\left(x^{2}+x+1\right)$$
$$f(x) - g(x)=-2x^{2}-12x-13-x^{2}-x-1$$
$$f(x) - g(x)=-3x^{2}-13x-14$$ . Nous allons maintenant étudier le signe du trinôme du second degré.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-13$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-14$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-13\right)^{2} -4\times \left(-3\right)\times \left(-14\right)$$
$$\Delta =169-168=1$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-\left(-13\right)-\sqrt{1} }{2\times \left(-3\right)}$$ d'où $$x_{1} =-2$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-\left(-13\right)+\sqrt{1} }{2\times \left(-3\right)}$$ d'où $$x_{2} =\frac{-7}{3}$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau du trinôme du second degré va dépendre du signe de $$a$$.

• Si $$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
• Si $$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, nous avons $$a=-3<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines. On en déduit le tableau de signe suivant :