Problème numéro 22 - Exercice 1

10 min
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Question 1

Déterminer trois nombres entiers a,ba, b et cc tels que la parabole d'équation y=ax2+bx+cy=a x^2+b x+c passe par les points A(1;−32),B(2;−6)A\left(1 ; -\frac{3}{2}\right), B\left(2 ;-6\right) et C(3;−252)C\left(3; -\frac{25}{2}\right) .

Correction
La parabole passant par le point A(1;−32)A\left(1 ; -\frac{3}{2}\right) on a alors : a×12+b×1+c=−32a\times 1^2+b\times 1+c=-\frac{3}{2} d'où : a+b+c=−32a+b+c=-\frac{3}{2}
La parabole passant par le point B(2;−6)B\left(2 ;-6\right) on a alors : a×22+b×2+c=−6a\times 2^2+b\times 2+c=-6 d'où : 4a+2b+c=−64a+2b+c=-6
La parabole passant par le point C(3;−252)C\left(3; -\frac{25}{2}\right) on a alors : a×32+b×3+c=−252a\times 3^2+b\times 3+c=-\frac{25}{2} d'où : 9a+3b+c=−2529a+3b+c= -\frac{25}{2}
Il nous faut donc résoudre le système suivant :
{a+b+c=−324a+2b+c=−69a+3b+c=−252\left\{ \begin{array}{ccc}a+b+c & = & -\dfrac{3}{2} \\ 4a+2b+c & = & -6 \\ 9a+3b+c & = & -\dfrac{25}{2} \end{array}\right. équivaut successivement à :
{c=−32−a−b4a+2b+c=−69a+3b+c=−252\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ 4a+2b+c & = & -6 \\ 9a+3b+c & = & -\dfrac{25}{2} \end{array}\right.
{c=−32−a−b4a+2b−32−a−b=−69a+3b−32−a−b=−252\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ 4a+2b-\frac{3}{2}-a-b & = & -6 \\ 9a+3b-\dfrac{3}{2}-a-b & = & -\dfrac{25}{2} \end{array}\right.
{c=−32−a−b3a+b=−6+328a+2b=−252+32\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ 3a+b & = & -6+\dfrac{3}{2} \\ 8a+2b & = & -\dfrac{25}{2}+\dfrac{3}{2} \end{array}\right.
{c=−32−a−b3a+b=−928a+2b=−11\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ 3a+b & = & -\dfrac{9}{2} \\ 8a+2b & = & -11 \end{array}\right.
{c=−32−a−bb=−92−3a8a+2b=−11\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ b & = & -\dfrac{9}{2}-3a \\ 8a+2b & = & -11 \end{array}\right.
{c=−32−a−bb=−92−3a8a+2×(−92−3a)=−11\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ b & = & -\dfrac{9}{2}-3a \\ 8a+2\times \left(-\dfrac{9}{2}-3a\right) & = & -11 \end{array}\right.
{c=−32−a−bb=−92−3a8a−9−6a=−11\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ b & = & -\dfrac{9}{2}-3a \\ 8a-9-6a & = & -11 \end{array}\right.
{c=−32−a−bb=−92−3a2a=−11+9\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ b & = & -\dfrac{9}{2}-3a \\ 2a & = & -11+9 \end{array}\right.
{c=−32−a−bb=−92−3a2a=−2\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ b & = & -\dfrac{9}{2}-3a \\ 2a & = & -2 \end{array}\right.
{c=−32−a−bb=−92−3aa=−1\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ b & = & -\dfrac{9}{2}-3a \\ a & = & -1 \end{array}\right.
{c=−32−a−bb=−92−3×(−1)a=−1\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-a-b \\ b & = & -\dfrac{9}{2}-3\times \left(-1\right) \\ a & = & -1 \end{array}\right.
{c=−32−(−1)−(−32)b=−32a=−1\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & -\dfrac{3}{2}-\left(-1\right)-\left(-\dfrac{3}{2}\right) \\ b & = & -\dfrac{3}{2} \\ a & = & -1 \end{array}\right.
{c=1b=−32a=−1\left\{ \begin{array}{ccc}c & = & 1 \\ b & = & -\dfrac{3}{2} \\ a & = & -1 \end{array}\right.
La parabole admet, finalement, comme équation
y=−x2−32x+1y=-x^2-\dfrac{3}{2}x+1
.

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