Résoudre dans $$\mathbb{R}$$, à l’aide du discriminant $$\Delta$$, une équation du second degré - Exercice 2

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=\sqrt{2}$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-3$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=\sqrt{2}$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-3\right)^{2} -4\times \sqrt{2} \times \sqrt{2}$$
$$\Delta =9-8=1$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{1} }{2\times \sqrt{2} }$$ d'où $$x_{1} =\frac{1}{\sqrt{2} }$$ ainsi $$x_{1} =\frac{\sqrt{2} }{2}$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{1} }{2\times \sqrt{2} }$$ d'où $$\frac{2}{\sqrt{2} }$$ ainsi $$x_{2} =\sqrt{2}$$
Les racines de l'équation $$\sqrt{2} x^{2} -3x+\sqrt{2}$$ sont donc $$S=\left\{\sqrt{2};\frac{\sqrt{2} }{2}\right\}$$

1^ère étape : On définit les valeurs $$a,b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=12$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=18$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =12^{2} -4\times 2\times 18$$
$$\Delta =144-144=0$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =-\frac{12}{2\times 2}$$ d'où $$x{}_{0} =-3$$
La racine de l'équation $$2x^{2} +12x+18=0$$ est donc $$S=\left\{-3\right\}$$

1^ère étape : On définit les valeurs $$a,b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=1$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-2$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =1^{2} -4\times 1\times \left(-2\right)$$
$$\Delta =1+8=9$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-1-\sqrt{9} }{2 }$$ d'où $$x_{1} =\frac{-4}{2 }$$ ainsi $$x_{1} =-2$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-1+\sqrt{9} }{2 }$$ d'où $$x_{2} =\frac{2}{2 }$$ ainsi $$x_{2} =1$$
Les racines de l'équation $$x^{2}+x-2=0$$ sont donc $$S=\left\{-2;1\right\}$$

1^ère étape : On définit les valeurs $$a,b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-1$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-3$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-1\right)^{2} -4\times \left(-2\right)\times \left(-3\right)$$
$$\Delta =1-24=-23$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta <0$$ alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit , il n'y a pas de solution à l'équation $$2x^{2} +3x+10=0$$ car $$\Delta <0$$.

1^ère étape : On définit les valeurs $$a,b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=5$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=2\sqrt{10}$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=2$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-2\sqrt{10} \right)^{2} -4\times 5\times 2$$
$$\Delta =40-40$$
Donc
3^ème étape :Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =-\frac{\left(-2\sqrt{10} \right)}{2\times 5}$$ d'où $$x{}_{0} =\frac{\sqrt{10}}{5}$$
La racine de l'équation $$5x^{2} -2\sqrt{10} x+2=0$$ est donc $$S=\left\{\frac{\sqrt{10}}{5}\right\}$$