Suite arithmétique - Exercice 3

20 min
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Soit nn un entier naturel non nul.
Précisez pour chaque cas si la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique ou non.
Question 1

un=−3n−5u_{n} =-3n-5

Correction
Si un+1−un=ru_{n+1} -u_{n} =r où rr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=−3n−5u_{n} =-3n-5 alors :
un+1=−3(n+1)−5u_{n+1} =-3\left(n+1\right)-5 équivaut successivement à :
un+1=−3n−3−5u_{n+1} =-3n-3-5
un+1=−3n−8u_{n+1} =-3n-8
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=−3n−8−(−3n−5)u_{n+1} -u_{n} =-3n-8-\left(-3n-5\right) équivaut successivement à :
un+1−un=−3n−8+3n+5u_{n+1} -u_{n} =-3n-8+3n+5
un+1−un=−3u_{n+1} -u_{n} =-3
Il en résulte que la suite un=−3n−5u_{n} =-3n-5 est une suite arithmétique de raison −3-3.
Lorsque la suite explicite est de la forme affine c'est à dire an+ban+b , alors la suite est arithmétique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.
Question 2

un=2n+1u_{n} =2n+1

Correction
Si un+1−un=ru_{n+1} -u_{n} =r où rr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=2n+1u_{n} =2n+1 alors :
un+1=2(n+1)+1u_{n+1} =2\left(n+1\right)+1 équivaut successivement à :
un+1=2n+2+1u_{n+1} =2n+2+1
un+1=2n+3u_{n+1} =2n+3
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=2n+3−(2n+1)u_{n+1} -u_{n} =2n+3-\left(2n+1\right) équivaut successivement à :
un+1−un=2n+3−2n−1u_{n+1} -u_{n} =2n+3-2n-1
un+1−un=2u_{n+1} -u_{n} =2
Il en résulte que la suite un=2n+1u_{n} =2n+1 est une suite arithmétique de raison 22.
Lorsque la suite explicite est de la forme affine c'est à dire an+ban+b , alors la suite est arithmétique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.
Question 3

un=4n2−5u_{n} =4n^{2} -5

Correction
On remarque ici que la suite n'est pas de la forme an+ban+b , alors la suite n'est pas arithmétique. Ici, c'est juste une aide, nous allons voir ci-dessous comment le rédiger sur une copie avec votre professeur.
Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) dont nous avons calculé les termes u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Si u1−u0≠u2−u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1} alors la suite (un)\left(u_{n} \right) n'est pas une suite arithmétique.
1ère étape : Calculez u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Comme un=4n2−5u_{n} =4n^{2} -5 alors :
u0=4×02−5u_{0} =4\times0^{2} -5 d'où : u0=−5u_{0} =-5
u1=4×12−5u_{1} =4\times1^{2} -5 d'où : u1=−1u_{1} =-1
u2=4×22−5u_{2} =4\times2^{2} -5 d'où : u2=11u_{2} =11
2ème étape : Calculer de u1−u0u_{1} -u_{0} et u2−u1u_{2} -u_{1}
u1−u0=−1−(−5)u_{1} -u_{0} =-1-\left(-5\right) ainsi : u1−u0=4u_{1} -u_{0} =4
u2−u1=11−(−1)u_{2} -u_{1} =11-\left(-1\right) ainsi : u2−u1=12u_{2} -u_{1} =12
Or
u1−u0≠u2−u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1}

Il en résulte que la suite un=4n2−5u_{n} =4n^{2} -5 n'est pas une suite arithmétique.
Question 4

un=2n+53u_{n} =\frac{2n+5}{3}

Correction
Si un+1−un=ru_{n+1} -u_{n} =r où rr est un réel, alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est arithmétique.
Dans ce cas, le réel rr sera la raison de la suite arithmétique.
1ère étape : Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn.
Comme un=2n+53u_{n} =\frac{2n+5}{3} alors :
un+1=2(n+1)+53u_{n+1} =\frac{2\left(n+1\right)+5}{3} équivaut successivement à :
un+1=2n+2+53u_{n+1} =\frac{2n+2+5}{3}
un+1=2n+73u_{n+1} =\frac{2n+7}{3}
2ème étape : Calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n} .
un+1−un=2n+73−2n+53u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+7}{3} -\frac{2n+5}{3} équivaut successivement à :
un+1−un=2n+7−(2n+5)3u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+7-\left(2n+5\right)}{3}
un+1−un=2n+7−2n−53u_{n+1} -u_{n} =\frac{2n+7-2n-5}{3}
un+1−un=23u_{n+1} -u_{n} =\frac{2}{3}
Il en résulte que la suite un=2n+53u_{n} =\frac{2n+5}{3} est une suite arithmétique de raison 23\frac{2}{3}.
Lorsque la suite explicite est de la forme affine c'est à dire an+ban+b , alors la suite est arithmétique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant comme on l'a fait ci-dessus le calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.
Question 5

{u0=2un+1=un−5\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} -5} \end{array}\right.

Correction
Lorsque la suite est sous la forme récurrente suivante un+1=un+ru_{n+1}=u_{n}+r où rr est une constante , alors la suite est arithmétique. Cependant, il faudra le démontrer en vérifiant par le calcul de un+1−unu_{n+1} -u_{n}.
Nous savons que : un+1=un−5u_{n+1}=u_{n}-5 ce qui nous donne un+1−un=−5u_{n+1}-u_{n}=-5
Il en résulte que la suite {u0=2un+1=un−5\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {2} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n} -5} \end{array}\right. est une suite arithmétique de raison −5-5.
Question 6

{u0=3un+1=un+2n+3\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {3} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n}+2n+3} \end{array}\right.

Correction
On remarque ici que la suite n'est pas de la forme un+1=un+ru_{n+1}=u_{n}+r , alors la suite n'est pas arithmétique. Ici, c'est juste une aide, nous allons voir ci-dessous comment le rédiger sur une copie avec votre professeur.
Soit la suite (un)\left(u_{n} \right) dont nous avons calculé les termes u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Si u1−u0≠u2−u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1} alors la suite (un)\left(u_{n} \right) n'est pas une suite arithmétique.
1ère étape : Calculez u0u_{0} , u1u_{1} et u2u_{2}.
Comme {u0=3un+1=un+2n+3\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {3} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n}+2n+3} \end{array}\right. alors :
u0=3u_{0} =3
u0+1=u0+2×0+3u_{0+1} =u_{0}+2\times0+3 d'où : u1=3+0+3u_{1} =3+0+3 ce qui nous donne u1=6u_{1} =6
u1+1=u1+2×1+3u_{1+1} =u_{1}+2\times1+3 d'où : u2=6+2+3u_{2} =6+2+3 ce qui nous donne u2=11u_{2} =11
2ème étape : Calculer de u1−u0u_{1} -u_{0} et u2−u1u_{2} -u_{1}
u1−u0=6−3u_{1} -u_{0} =6-3 ainsi : u1−u0=3u_{1} -u_{0} =3
u2−u1=11−6u_{2} -u_{1} =11-6 ainsi : u2−u1=5u_{2} -u_{1} =5
Or
u1−u0≠u2−u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1}

Il en résulte que la suite {u0=3un+1=un+2n+3\left\{\begin{array}{ccc} {u_{0} } & {=} & {3} \\ {u_{n+1} } & {=} & {u_{n}+2n+3} \end{array}\right. n'est pas une suite arithmétique.

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