Etudier le sens de la variation d’une suite (un)(u_{n}) à l'aide de un+1−unu_{n+1} -u_{n} - Exercice 1

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Question 1
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : un=−7n−8u_{n}=-7n-8 .

Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de nn .

Correction
Comme un=−7n−8u_{n}=-7n-8 alors :
un+1=−7×(n+1)−8u_{n+1} =-7\times\left(n+1\right)-8.
un+1=(−7)×n+(−7)×1−8u_{n+1} =\left(-7\right)\times n+\left(-7\right)\times1-8.
un+1=−7n−7−8u_{n+1} =-7n-7-8
Ainsi :
un+1=−7n−15u_{n+1} =-7n-15

Question 2

Exprimer un+1−unu_{n+1}-u_{n} en fonction de nn .

Correction
un+1−un=−7n−15−(−7n−8)u_{n+1}-u_{n}=-7n-15-\left(-7n-8\right)
un+1−un=−7n−15+7n+8u_{n+1}-u_{n}=-7n-15+7n+8
Ainsi :
un+1−un=−7u_{n+1}-u_{n}=-7

Question 3

Etudiez le signe un+1−un+1u_{n+1}-u_{n+1} .

Correction
un+1−un=−7u_{n+1} -u_{n} =-7 donc un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 car −7-7 est un nombre négatif.
Question 4

En déduire le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

Correction
  • Si un+1−un≥0u_{n+1} -u_{n} \ge 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est croissante.
  • Si un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
  • Si un+1−un=0u_{n+1} -u_{n} =0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est constante.
D'après la question 33, nous savons que : un+1−un≤0u_{n+1}-u_{n}\le 0
Finalement : un+1−un≤0u_{n+1} -u_{n} \le 0 alors la suite (un)\left(u_{n} \right) est  deˊcroissante.\red{\text{ décroissante.}}

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