Calculs de dérivées usuelles - Exercice 3

12 min
30
Pour les fonctions suivantes, définies et dérivables sur R\mathbb{R}, calculer la fonction dérivée :
Question 1

f(x)=6x5−3x4−7x2−9x+12f\left(x\right)=6x^{5} -3x^{4} -7x^{2} -9x+\frac{1}{2}

Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn−1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    f′(x)=6×5x5−1−3×4x4−1−7×2x2−1−9f'\left(x\right)=6\times 5x^{5-1} -3\times 4x^{4-1} -7\times 2x^{2-1} -9
    f′(x)=6×5x4−3×4x3−7×2x−9f'\left(x\right)=6\times 5x^{4} -3\times 4x^{3} -7\times 2x-9
    f′(x)=30x4−12x3−14x−9f'\left(x\right)=30x^{4} -12x^{3} -14x-9
    Question 2

    f(x)=−3x8−2x5+2x3+x+2f\left(x\right)=-3x^{8} -2x^{5} +2x^{3} +x+2

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn−1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    f′(x)=−3×8x8−1−2×5x5−1+2×3x3−1+1f'\left(x\right)=-3\times 8x^{8-1} -2\times 5x^{5-1} +2\times 3x^{3-1} +1
    f′(x)=−3×8x7−2×5x4+2×3x2+1f'\left(x\right)=-3\times 8x^{7} -2\times 5x^{4} +2\times 3x^{2}+1
    f′(x)=−24x7−10x4+6x2+1f'\left(x\right)=-24x^{7} -10x^{4} +6x^{2}+1
    Question 3

    f(x)=7x6+3x4−x2−32x+11f\left(x\right)=7x^{6} +3x^{4} -x^{2} -\frac{3}{2}x+11

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn−1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    f′(x)=7×6x6−1+3×4x4−1−2x2−1−32f'\left(x\right)=7\times 6x^{6-1} +3\times 4x^{4-1} -2x^{2-1} -\frac{3}{2}
    f′(x)=7×6x5+3×4x3−2×x−32f'\left(x\right)=7\times 6x^{5} +3\times 4x^{3} -2\times x-\frac{3}{2}
    f′(x)=42x5+12x3−2x−32f'\left(x\right)=42x^{5} +12x^{3} -2x-\frac{3}{2}
    Question 4

    f(x)=8x9−5x8−3x5+2x4+11x−1f\left(x\right)=8x^{9} -5x^{8} -3x^{5} +2x^{4}+11x-1

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn−1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    f′(x)=8×9x8−5×8x7−3×5x4+2×4x3+11f'\left(x\right)=8\times9x^{8} -5\times8x^{7} -3\times5x^{4} +2\times4x^{3}+11
    f′(x)=72x8−40x7−15x4+8x3+11f'\left(x\right)=72x^{8} -40x^{7} -15x^{4}+8x^{3}+11
    Question 5

    f(x)=3x11+2x9−5x5−32x4+6x2−9f\left(x\right)=3x^{11} +2x^{9} -5x^{5} -\frac{3}{2}x^{4}+6x^{2}-9

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn−1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    f′(x)=3×11x10+2×9x8−5×5x4−32×4x3+6×2xf'\left(x\right)=3\times11x^{10} +2\times9x^{8} -5\times5x^{4} -\frac{3}{2}\times4x^{3}+6\times2x
    f′(x)=33x10+18x8−25x4−6x3+12xf'\left(x\right)=33x^{10} +18x^{8} -25x^{4}-6x^{3}+12x
    Question 6

    f(x)=−3x7−2x6+4x5−3x3+11x2−6x+1f\left(x\right)=-3x^{7} -2x^{6} +4x^{5} -3x^{3}+11x^{2}-6x+1

    Correction
  • La dérivée d'un nombre{\color{blue}nombre} est 0.{\color{blue}0} .
  • La dérivée d'un nombre×x{\color{blue}nombre\times x} est nombre.{\color{blue}nombre} .
  • La dérivée d'un nombre×xn{\color{blue}nombre\times x^{n}} est nombre×n×xn−1{\color{blue}nombre\times n \times x^{n-1}}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R} car toute fonction polynôme est dérivable sur R\mathbb{R} .
    f′(x)=−3×7x6−2×6x5+4×5x4−3×3x2+11×2x−6f'\left(x\right)=-3\times7x^{6} -2\times6x^{5} +4\times5x^{4} -3\times3x^{2}+11\times2x-6
    f′(x)=−21x6−12x5+20x4−9x2+22x−6f'\left(x\right)=-21x^{6} -12x^{5} +20x^{4}-9x^{2}+22x-6

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