Calculs algébriques : l'inverse et le quotient de deux nombres complexes - Exercice 3

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On considère les deux nombres complexes définis par z1=1+iz_{1} =1+i et z2=−2+3iz_{2} =-2+3i.
Calculez et donnez les résultats sous forme algébrique.
Question 1

z1+z2z2\frac{z_{1} +z_{2} }{z_{2} }

Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z1+z2z2=1+i−2+3i−2+3i\frac{z_{1} +z_{2} }{z_{2} } =\frac{1+i-2+3i}{-2+3i}
    z1+z2z2=−1+4i−2+3i\frac{z_{1} +z_{2} }{z_{2} } =\frac{-1+4i}{-2+3i}
    z1+z2z2=(−1+4i)(−2−3i)(−2+3i)(−2−3i)\frac{z_{1} +z_{2} }{z_{2} } =\frac{\left(-1+4i\right)\left(-2-3i\right)}{\left(-2+3i\right)\left(-2-3i\right)}
    z1+z2z2=2+3i−8i−12i2(−2)2+32\frac{z_{1} +z_{2} }{z_{2} } =\frac{2+3i-8i-12i^{2} }{\left(-2\right)^{2} +3^{2} }
    z1+z2z2=2+3i−8i−12×(−1)(−2)2+32\frac{z_{1} +z_{2} }{z_{2} } =\frac{2+3i-8i-12\times \left(-1\right) }{\left(-2\right)^{2} +3^{2} }
    z1+z2z2=2+3i−8i+12(−2)2+32\frac{z_{1} +z_{2} }{z_{2} } =\frac{2+3i-8i+12}{\left(-2\right)^{2} +3^{2} }
    Ainsi :
    z1+z2z2=1413−513i\frac{z_{1} +z_{2} }{z_{2} } =\frac{14}{13} -\frac{5}{13} i

    Question 2

    z1−2z2z1+z2\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} }

    Correction
  • Lorsque vous avez un quotient dont le dénominateur est sous forme algébrique, il faut multiplier\red{\text{multiplier}} le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Soit z=x+iyz=x+iy et z‾=x−iy\overline{z}=x-iy son conjugué, alors z×z‾=x2+y2z\times \overline{z}=x^{2} +y^{2}
    • z1−2z2z1+z2=1+i−2(−2+3i)1+i−2+3i\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{1+i-2\left(-2+3i\right)}{1+i-2+3i}
    z1−2z2z1+z2=1+i+4−6i−1+4i\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{1+i+4-6i}{-1+4i}
    z1−2z2z1+z2=5−5i−1+4i\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{5-5i}{-1+4i}
    z1−2z2z1+z2=(5−5i)(−1−4i)(−1+4i)(−1−4i)\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{\left(5-5i\right)\left(-1-4i\right)}{\left(-1+4i\right)\left(-1-4i\right)}
    z1−2z2z1+z2=−5−20i+5i+20i2(−1)2+42\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-5-20i+5i+20i^{2} }{(-1)^{2} +4^{2} }
    z1−2z2z1+z2=−5−20i+5i+20×(−1)(−1)2+42\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-5-20i+5i+20\times \left(-1\right) }{(-1)^{2} +4^{2} }
    z1−2z2z1+z2=−5−20i+5i−20(−1)2+42\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =\frac{-5-20i+5i-20}{\left(-1\right)^{2} +4^{2} }
    Ainsi :
    z1−2z2z1+z2=−2517−1517i\frac{z_{1} -2z_{2} }{z_{1} +z_{2} } =-\frac{25}{17} -\frac{15}{17} i

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