Produit scalaire : définition avec le cosinus (définition géométrique) - Exercice 1

5 min
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Question 1

On donne ∥u→∥=10\left\| \overrightarrow{u} \right\|=10 et ∥v→∥=6\left\| \overrightarrow{v} \right\|=6 et (u→,v→)=π3 \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=\frac{\pi}{3} . Calculer u→⋅v→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u→⋅v→=10×6×cos⁡(π3)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =10\times6 \times \cos \left(\frac{\pi}{3} \right) .     \;\; Or cos⁡(π3)=12\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}, ce qui nous donne :
u→⋅v→=10×6×12\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =10\times6 \times \frac{1}{2}
Ainsi :
u→⋅v→=30\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =30
Question 2

On donne ∥u→∥=5\left\| \overrightarrow{u} \right\|=5 et ∥v→∥=4\left\| \overrightarrow{v} \right\|=4 et (u→,v→)=120∘ \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=120^{\circ } . Calculer u→⋅v→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u→⋅v→=5×4×cos⁡(120∘)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5\times 4\times \cos \left(120^{\circ }\right)     \;\; Or cos⁡(120∘)=−12\cos \left(120^{\circ } \right)=-\frac{1 }{2}, ce qui nous donne :
u→⋅v→=5×4×(−12)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5\times 4\times \left(-\frac{1}{2}\right)
Ainsi :
u→⋅v→=−10\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-10
Question 3

On donne ∥u→∥=5\left\| \overrightarrow{u} \right\|=5 et ∥v→∥=4\left\| \overrightarrow{v} \right\|=4 et (u→,v→)=3π4 \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=\frac{3\pi}{4} . Calculer u→⋅v→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u→⋅v→=5×4×cos⁡(3π4)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5\times 4\times \cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)     \;\; Or cos⁡(3π4)=−22\cos \left(\frac{3\pi}{4} \right)=\frac{-\sqrt{2} }{2}, ce qui nous donne :
u→⋅v→=5×4×(−22)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5\times 4\times \left(\frac{-\sqrt{2} }{2}\right)
Ainsi :
u→⋅v→=−10×2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-10\times \sqrt{2}

Question 4

On donne ∥u→∥=2\left\| \overrightarrow{u} \right\|=2 et ∥v→∥=7\left\| \overrightarrow{v} \right\|=7 et (u→,v→)=π6 \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)=\frac{\pi}{6} . Calculer u→⋅v→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u→⋅v→=2×7×cos⁡(π6)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =2\times 7\times \cos \left(\frac{\pi}{6} \right)     \;\; Or cos⁡(π6)=32\cos \left(\frac{\pi}{6} \right)=\frac{\sqrt{3} }{2}, ce qui nous donne :
u→⋅v→=2×7×32\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =2\times 7\times \frac{\sqrt{3} }{2}
Ainsi :
u→⋅v→=7×3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =7\times \sqrt{3}

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