Produit scalaire : définition avec le cosinus (définition géométrique) - Exercice 3

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Question 1

Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} à l'aide de la figure ci-dessus :

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
AB→⋅AC→=8×6×cos⁡(π3)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =8\times 6\times \cos \left(\frac{\pi}{3} \right) . Or cos⁡(π3)=12\cos \left(\frac{\pi}{3} \right)=\frac{1}{2}
AB→⋅AC→=8×6×12\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =8\times 6\times \frac{1}{2}
AB→⋅AC→=24\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =24

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