Comment déterminer si une fonction est paire ou impaire ou ni paire ni impaire - Exercice 4

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Question 1

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=−2cos⁡(4x)−5sin⁡(x2)f\left(x\right)=-2\cos \left(4x\right)-5\sin \left(x^{2} \right) . Déterminer si la fonction ff est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

Correction
  • ff est une fonction paire si pour tout réel xx, on a f(−x)=f(x)f\left(-x\right)=f\left(x\right).
    La fonction cosinus est paire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)

  • ff est une fonction impaire si pour tout réel xx, on a f(−x)=−f(x)f\left(-x\right)=-f\left(x\right).
    La fonction sinus est impaire, c'est à dire, que pour tout réel xx, on a : sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)
    • Calculons f(−x)f\left(-x\right) . Ainsi :
    f(x)=4cos⁡(6x−8)f\left(x\right)=4\cos \left(6x-8\right)
    f(−x)=4cos⁡(6×(−x)−8)f\left(-x\right)=4\cos \left(6\times \left(-x\right)-8\right)
    f(−x)=4cos⁡(−6x−8)f\left(-x\right)=4\cos \left(-6x-8\right)
    On remarque facilement que f(−x)≠f(x)f\left(-x\right)\ne f\left(x\right) . Donc ff n'est pas paire.
    De plus :
    −f(x)=−4cos⁡(6x−8)-f\left(x\right)=-4\cos \left(6x-8\right)
    On vérifie donc que f(−x)≠−f(x)f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)
    Il en résulte donc que la fonction ff est ni paire ni impaire.

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