Produit scalaire : définition avec le cosinus (définition géométrique) - Exercice 2

6 min
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Question 1

On donne ∥AB→∥=1\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=1 et ∥AC→∥=3\left\| \overrightarrow{AC} \right\|=3 et (AB→,AC→)=π4 \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\pi}{4} . Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} non nuls est défini par :
    AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
  • Nous pouvons également écrire : AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
AB→⋅AC→=1×3×cos⁡(π4)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=1\times 3\times \cos \left(\frac{\pi}{4} \right)     \;\; Or cos⁡(π4)=22\cos \left(\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}, ce qui nous donne :
AB→⋅AC→=1×3×22\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =1\times 3\times \frac{\sqrt{2} }{2}
Ainsi :
AB→⋅AC→=3×22\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =3\times \frac{\sqrt{2} }{2}
qui s'écrit également AB→⋅AC→=322\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{3\sqrt{2} }{2}
Question 2

On donne ∥AB→∥=7\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=7 et ∥AC→∥=8\left\| \overrightarrow{AC} \right\|=8 et (BAC^)=π2 \left(\widehat{BAC} \right)=\frac{\pi}{2} . Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} non nuls est défini par :
    AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
  • Nous pouvons également écrire : AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
AB→⋅AC→=7×8×cos⁡(π2)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=7\times 8\times \cos \left(\frac{\pi}{2} \right)     \;\; Or cos⁡(π2)=0\cos \left(\frac{\pi}{2} \right)=0, ce qui nous donne :
AB→⋅AC→=7×8×0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =7\times 8\times 0
Ainsi :
AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0

  • Si AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0 alors les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
    • Question 3

    On donne ∥AB→∥=5\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=5 et ∥AC→∥=6\left\| \overrightarrow{AC} \right\|=6 et (BAC^)=45∘ \left(\widehat{BAC} \right)=45^{\circ } . Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

    Correction
    • Le produit scalaire de deux vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} non nuls est défini par :
      AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
    • Nous pouvons également écrire : AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
    AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC} \right)
    AB→⋅AC→=5×6×cos⁡(45∘)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=5\times 6\times \cos \left(45^{\circ } \right)     \;\; Or cos⁡(45∘)=22\cos \left(45^{\circ } \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, ce qui nous donne :
    AB→⋅AC→=5×6×22\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =5\times 6\times \frac{\sqrt{2}}{2}
    Ainsi :
    AB→⋅AC→=152\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =15\sqrt{2}

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