Produit scalaire : définition avec le cosinus (définition géométrique) - Exercice 4

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Question 1

Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} à l'aide de la figure ci-dessus :

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
AB→⋅AC→=9×5×cos⁡(5π6)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =9\times 5\times \cos \left(\frac{5\pi}{6} \right) . Or cos⁡(5π6)=−32\cos \left(\frac{5\pi}{6} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
AB→⋅AC→=9×5×(−32)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =9\times 5\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
AB→⋅AC→=−4532\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =-\frac{45\sqrt{3}}{2}

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