Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée - Exercice 1

Pour déterminer l’intersection de la courbe de $$f$$ avec l’axe des abscisses, il suffit de résoudre l’équation $$f\left(x\right)=0$$ .
Ainsi :
$$2\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0$$ . Il s'agit ici d'une équation produit nul.
Il faut donc résoudre : $$x-1=0$$ $$\text{\red{ou}}$$ $$x+3=0$$
$$\text{\blue{D'une part :}}$$
$$x-1=0$$
$$x=1$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$
$$x+3=0$$
$$x=-3$$
Les points cherchés ont pour coordonnées $$\left(-3;0\right)$$ et $$\left(1;0\right)$$

Nous avons $$f\left(x\right)=2\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$ . D'après le rappel, nous pouvons identifier que $$x_1=1$$ et $$x_2=-3$$ .
L'axe de symétrie admet comme équation $$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$, il vient alors :
$$x=\frac{1+\left(-3\right)}{2}$$
$$x=\frac{-2}{2}$$

L'équation de cet axe de symétrie est : $$x=-1$$ .

Déterminer les coordonnées du sommet $$S$$ de $$\mathscr{C}$$ ou encore déterminer les coordonnées de son extremum. Il s'agit de deux manières différentes de poser la question.
Le sommet $$S$$ de la parabole $$\mathscr{C}$$ appartient à l'axe de symétrie donc son abscisse vaut $$-1$$ et son ordonnée vaut $$f\left(-1\right)=2\times\left(-1-1\right)\times\left(-1+3\right)$$
$$f\left(-1\right)=2\times\left(-2\right)\times2$$

Le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(-1;-8\right)$$

D'après la question $$3$$, nous savons que le sommet de la parabole $$S$$ est donc le point de coordonnées $$\left(-1;-8\right)$$

La fonction $$f$$ est alors décroissante sur l'intervalle $$\left]-\infty;-1\right]$$

La fonction $$f$$ est alors croissante sur l'intervalle $$\left[-1;+\infty\right[$$

On en déduit le tableau de variation ci-dessous :

D'après la représentation graphique faite à la question $$4$$, nous pouvons lire que :

Si $$x\in \left]-\infty;-3\right]$$ alors $$f$$ est au-dessus ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est positive.

Si $$x\in \left[-3;1\right]$$ alors $$f$$ est en-dessous ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est négative.

Si $$x\in \left[1;+\infty\right]$$ alors $$f$$ est au-dessus ou égale de l'axe des abscisses donc $$f\left(x\right)$$ est positive.

Nous pouvons maintenant dresser le tableau de signe de la fonction $$f$$.