Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

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On considère l’expression F=(2x+3)(x−5)−(2x+3)(2x−7)F=\left(2x+3\right)\left(x-5\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-7\right).
Question 1

Développer et réduire F.F.

Correction
F=(2x+3)(x−5)−(2x+3)(2x−7)F=\left(2x+3\right)\left(x-5\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-7\right) équivaut successivement à :
F=(2x×x+2x×(−5)+3×x+3×(−5))−(2x×2x+2x×(−7)+3×2x+3×(−7))F=\left(2x\times x+2x\times \left(-5\right)+3\times x+3\times \left(-5\right)\right)-\left(2x\times 2x+2x\times \left(-7\right)+3\times 2x+3\times \left(-7\right)\right)
F=2x2−10x+3x−15−(4x2−14x+6x−21)F=2x^2-10x+3x-15-\left(4x^2-14x+6x-21\right)
F=2x2−7x−15−(4x2−8x−21)F=2x^2-7x-15-\left(4x^2-8x-21\right)
F=2x2−7x−15−4x2+8x+21F=2x^2-7x-15-4x^2+8x+21
F=2x2−4x2+8x−7x+21−15F=2x^2-4x^2+8x-7x+21-15
F=2x2+x+6F=2x^2+x+6
Question 2

Factoriser l’expression F.F.

Correction
  • Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.
  • Si l’expression contient un facteur commun, alors on utilise l'une des formules de factorisation : ka+kb=k(a+b)      ou        ka–kb=k(a–b)⇒  \color{red}ka + kb = k(a+b)\;\;\;ou\;\;\;\;ka – kb = k(a – b)\Rightarrow\;Ici k\color{red}k représente le facteur en commun.
On considère l’expression F=(2x+3)(x−5)−(2x+3)(2x−7)F=\left(2x+3\right)\left(x-5\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-7\right)
F=(2x+3)(x−5)−(2x+3)(2x−7)F={\color{blue}(2x+3)}(x-5)-{\color{blue}(2x+3)}(2x-7)
Ici FF est de la forme ka−kb\color{red}ka-kb, avec comme facteur en commun : k=2x+3\color{blue}k=2x+3,    \;\;a=x−5a=x-5       \;\;\;et      \;\;\;b=2x−7b=2x-7
Or      \;\;\; ka−kb=k(a−b){\color{red}ka -kb = k(a -b)}, alors :
F=(2x+3)(x−5−2x+7)F={\color{blue}(2x+3)}\left(x-5-2x+7\right)
Ainsi : F=(2x+3)(−x+2)F=\left(2x+3\right)\left(-x+2\right)
Question 3

Résoudre l’équation (2x+3)(−x+2)=0\left(2x+3\right)\left(-x+2\right) = 0

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(2x+3)(−x+2)=0\left(2x+3\right)\left(-x+2\right) = 0
(2x+3)(−x+2)=0\left(2x+3\right)\left(-x+2\right) = 0       \;\;\;Si et seulement si :         \;\;\;\;2x+3=02x+3 = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; −x+2=0-x+2 =0
Ainsi on a :
2x+3−3=0−3{2x}+3{\color{blue}{-3}} ={0}{\color{blue}{-3}}   \; On a soustrait 3{\color{blue}3} à chaque membre.
2x=−32x=-3
2x2=−32\frac{2x}{\color{blue}2}=\frac{-3}{\color{blue}2}   \;On a divisé par 2{\color{blue}2} chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=−32\boxed{x=-\frac{3}{2}}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
−x+2−2=0−2-x+2{\color{blue}{-2}} =0{\color{blue}{-2}}   \; On a soustrait 2{\color{blue}2} à chaque membre.
−x=−2-x=-2
−x−1=−2−1\frac{-x}{\color{blue}-1}=\frac{-2}{\color{blue}-1}   \;On a divisé par −1{\color{blue}-1} chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=2\boxed{x=2}
L'ensemble des solutions est S={−72  ;  2}S=\left\{-\frac{7}{2}\;;\;2\right\}

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