Equations produit nul - Exercice 1

12 min
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COMPETENCES : Savoir résoudre une équation et calculer en utilisant le langage algébrique.
Résoudre, dans R\mathbb{R}, les équations suivantes :
Question 1

(x+1)(x−3)=0\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(x+1)(x−3)=0{\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0}       \;\;\;Si et seulement si :         \;\;\;\;x+1=0x+1 = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; x−3=0x-3 =0
Ainsi, on a :
x+1−1=0−1x+1\color{blue}{-1} =\color{black}{ 0}\color{blue}{-1}   \; On a soustrait 1{\color{blue}1} à chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=−1\boxed{x=-1}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
x−3+3=0+3x-3{\color{blue}{+3}} =0{\color{blue}{+3}}   \; On a additionné 3{\color{blue}3} à chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=3\boxed{x=3}
L'ensemble des solutions est S={−1;3}S=\left\{-1;3\right\}.
Question 2

(x+5)(x+4)=0\left(x+5\right)\left(x+4\right)=0

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(x+5)(x+4)=0\left(x+5\right)\left(x+4\right)=0       \;\;\;si et seulement si :      \;\;\; x+5=0x+5 = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; x+4=0x+4 =0
Ainsi, on a :
x+5−5=0−5x+5{\color{blue}{-5}} = 0{\color{blue}{-5}}   \; On a soustrait 5{\color{blue}5} à chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=−5\boxed{x=-5}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
x+4−4=0−4x+4{\color{blue}{-4}} =0{\color{blue}{-4}}   \; On a soustrait 4{\color{blue}4} à chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=−4\boxed{x=-4}
L'ensemble des solutions est S={−5;−4}S=\left\{-5;-4\right\}.
Question 3

(x+7)(x−7)=0\left(x+7\right)\left(x-7\right)=0

Correction
  • Le produit de 2 facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
  • Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations du premier degré.
(x+7)(x−7)=0\left(x+7\right)\left(x-7\right)=0       \;\;\;si et seulement si :       \;\;\; x+7=0x+7 = 0          \;\;\;\;\; ou :          \;\;\;\;\; x−7=0x-7 =0
Ainsi, on a :
x+7−7=0−7x+7{\color{blue}{-7}} = 0{\color{blue}{-7}}   \; On a soustrait 7{\color{blue}7} à chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=−7\boxed{x=-7}
                                                                            \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OU\textbf{\red{OU}}
x−7+7=0+7x-7{\color{blue}{+7}} =0{\color{blue}{+7}}   \; On a additionné 7{\color{blue}7} à chaque membre. ⟺{\red{\Longleftrightarrow}}     \;\; x=7\boxed{x=7}
L'ensemble des solutions est S={−7;7}S=\left\{-7;7\right\}.

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