Propriétés avec les homothéties - Exercice 1

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Question 1
Le triangle A′B′C′A'B'C' est l'image du triangle ABCABC par l’homothétie de centre OO et de rapport 22.

A l'aide de la figure ci-dessus, que peut-on dire de la longueur du segment A′B′A'B' ? Justifier votre réponse.

Correction
  • Dans le cas d'une homothétie de centre O et de rapport kk, on a :
  • La longueur obtenue après l'agrandissement =k  ×\color{red}=k\;\times longueur sur la figure initiale.
  • La longueur obtenue après la réduction =−k  ×\color{red}=-k\;\times longueur sur la figure initiale.
  • Autrement dit ici :   \;A′B′=k×AB\bf{\color{red}\boxed{A'B'=k\times{AB}}}

Le triangle A′B′C′A'B'C' est l'image du triangle ABCABC par l’homothétie de centre OO et de rapport 22.
[A′B′][A'B'] est le côté obtenu après l'agrandissement du segment [AB].[AB]. (en effet ici k>1k>1).
D'où : A′B′=k×ABA'B'=k\times{AB}
A′B′=2×5A'B'=2\times{5}            \;\;\;\;\;\; Avec k=2k=2            \;\;\;\;\;\; et            \;\;\;\;\;\; AB=5AB=5 cm
A′B′=10  cm\color{blue}\boxed{A'B'=10\;cm}

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