Tracer l'image d’un segment ou d'une droite par une homothétie - Exercice 3

12 min
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Question 1

Construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −14-\frac{1}{4}.

Correction
L'image d'un segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k (Avec k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1) est le segment [A′B′][A'B'] tel que :
  • [AB][AB] et [A′B′][A'B'] sont parallèles.
  • Les points A,  O  ,A′A, \;O \;, A' et B,O  , B′B, O \;,\, B' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}
    • On doit construire l’image du segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et de rapport −14-\frac{1}{4}.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1, avec (k=1/4)\color{red}(k={1}/{4}). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les droites (OA)(OA) et (OB).(OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA} et OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB} alors :
    OA′=14×5OA'=\frac{1}{4}\times5             \;\;\;\;\;\; Avec k=14k=\frac{1}{4}       \;\;\;et      \;\;\; OA=5OA=5 cm donc : OA′=1,25  cm\boxed{OA'=1,25\; cm}
    OB′=14×8OB'=\frac{1}{4}\times8             \;\;\;\;\;\; Avec k=14k=\frac{1}{4}       \;\;\;et      \;\;\; OB=8OB=8 cm donc : OB′=2  cm\boxed{OB'=2\; cm}
    • Question 2

    Construire l’image du segment [AB][AB] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −29-\frac{2}{9}.

    Correction
    L'image d'un segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k (Avec k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1) est le segment [A′B′][A'B'] tel que :
  • [AB][AB] et [A′B′][A'B'] sont parallèles.
  • Les points A,  O  ,A′A, \;O \;, A' et B,O  , B′B, O \;,\, B' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OA′OA' est égale à kk fois la longueur OAOA soit : OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}
  • La longueur OB′OB' est égale à kk fois la longueur OBOB soit : OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB}
    • On doit construire l’image du segment [AB][AB] par l'homothétie de centre OO et de rapport −29-\frac{2}{9}.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1, avec (k=2/9)\color{red}(k={2}/{9}). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les droites (OA)(OA) et (OB).(OB).
    2.\bf{2.} Puis comme OA′=kOA{\color{red}OA'=kOA}, et OB′=kOB{\color{red}OB'=kOB} alors :
    OA′=29×9OA'=\frac{2}{9}\times9             \;\;\;\;\;\; Avec k=29k=\frac{2}{9}       \;\;\;et      \;\;\; OA=9OA=9 cm donc : OA′=2  cm\boxed{OA'=2\; cm}
    OB′=29×4,5OB'=\frac{2}{9}\times4,5             \;\;\;\;\;\; Avec k=29k=\frac{2}{9}       \;\;\;et      \;\;\; OB=4,5OB=4,5 cm donc : OB′=1  cm\boxed{OB'=1\; cm}
    • Question 3

    Construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −0,75-0,75.

    Correction
    L'image d'un segment [IJ][IJ] par l'homothétie de centre OO et d'un rapport −k\color{red}-k (Avec k\color{red}k compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1) est le segment [I′J′][I'J'] tel que :
  • [IJ][IJ] et [I′J′][I'J'] sont parallèles.
  • Les points I,  O  ,I′I, \;O \;, I' et J,O  , J′J, O \;,\, J' sont alignés dans cet ordre.
  • La longueur OI′OI' est égale à kk fois la longueur OIOI soit : OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI}
  • La longueur OJ′OJ' est égale à kk fois la longueur OJOJ soit : OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ}
    • On doit construire l’image du segment [IJ][IJ] ci-dessous par l'homothétie de centre OO et de rapport −0,75-0,75.
  • Le rapport −k\color{red}-k est tel que : k\color{red}k est compris entre 0\color{red}0 et 1\color{red}1, avec (k=0,75)\color{red}(k=0,75). Donc dans un premier temps :
    1.\bf{1.} On trace les droites (OI)(OI) et (OJ).(OJ).
    2.\bf{2.} Puis comme OI′=kOI{\color{red}OI'=kOI} et OJ′=kOJ{\color{red}OJ'=kOJ} alors :
    OI′=0,75×10OI'=0,75\times10             \;\;\;\;\;\; Avec k=0,75k=0,75       \;\;\;et      \;\;\; OI=10OI=10 cm donc : OI′=7,5  cm\boxed{OI'=7,5\; cm}
    OJ′=0,75×8OJ'=0,75\times8             \;\;\;\;\;\; Avec k=0,75k=0,75       \;\;\;et      \;\;\; OJ=8OJ=8 cm donc : OJ′=6  cm\boxed{OJ'=6\; cm}

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