Fiche de cours sur le développement ( distributivité.)

Distributivités

Distributivité simple

  • Développer un produit, c’est écrire ce produit sous la forme d’une somme.
    Si on considère 33 nombres relatifs, (k,  a,  b),(k,\;a,\;b), alors :
    k(a+b)=k×a+k×b{\color{red}\boxed{k(a+b)=k\times{a}+k\times{b}}} ou k(a−b)=k×a−k×b{\color{red}\boxed{k(a-b)=k\times{a}-k\times{b}}}
Important :‾\text{\color{red}\underline{Important :}} k(a+b){k(a+b)} peut se lire kk fois (a+b)(a+b) ou k  facteur  de‾  (a+b).\color{red}k\;{\underline{facteur\;de}}\;(a+b).
Meˊthode aˋ l’aide d’exemples.‾\small\text{\color{blue}\underline{Méthode à l'aide d'exemples.}}
Exemple 1 :\pink{\text{Exemple 1 :}} Développer   2(x+5)\;2(x+5)
  2(x+5)  ⇒  \;2({\color{blue}x}+{\color{red}5})\;\Rightarrow\; est de la forme :\footnotesize\text{est de la forme :} k(a+b)  k({\color{blue}a}+{\color{red}b)}\;avec:\footnotesize\text{avec} : k=2,a=x  et  b=5k=2, {\color{blue}a=x}\;et\;{\color{red}b=5}
  2(x+5)=2×x+2×5\;2({\color{blue}x}+{\color{red}5})=2\times{\color{blue}x}+2\times{\color{red}5}
  2(x+5)=2x+10\;2({\color{blue}x}+{\color{red}5})={\color{black}\boxed{2x+10}}
Exemple 2 :\pink{\text{Exemple 2 :}}
Développer   2(−2x−8)\;2(-2x-8)
  2(−2x−8)  ⇒  \;2({\color{blue}-2x}-{\color{red}8})\;\Rightarrow\; est de la forme :\footnotesize\text{est de la forme :} k(a−b)  k({\color{blue}a}-{\color{red}b)}\;avec:\footnotesize\text{avec} : k=2,a=−2x  et  b=8k=2, {\color{blue}a=-2x}\;et\;{\color{red}b=8}
  2(−2x−8)=2×(−2x)−2×8\;2({\color{blue}-2x}-{\color{red}8})=2\times{(\color{blue}-2x})-2\times{\color{red}8}
  2(−2x−8)=−4x−16\;2({\color{blue}-2x}-{\color{red}8})={\color{black}\boxed{-4x-16}}

Double distributivité.

  • Développer un produit, c’est écrire ce produit sous la forme d’une somme.
    Si on considère 44 nombres relatifs, (a,  b,  c,  d),(a,\;b,\;c,\;d),  \;alors (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d{\color{red}\boxed{(a+b)(c+d)=a\times{c}+a\times{d}+b\times{c}+b\times{d}}}
Meˊthode de calculs aˋ l’aide d’exemples.‾\footnotesize\text{\color{blue}\underline{Méthode de calculs à l'aide d'exemples.}}
Exemple 1 :\pink{\text{Exemple 1 :}} Développer   (x+1)(x+5)\;(x+1)(x+5)
  (x+1)(x+5)  ⇒  \;({\color{blue}x}+{\color{red}1})({\color{purple}x}+{\color{brown}5})\;\Rightarrow\; est de la forme :\footnotesize\text{est de la forme :} (a+b)(c+d)  ({\color{blue}a}+{\color{red}b)}({\color{purple}c}+{\color{brown}d)}\;avec:\footnotesize\text{avec} : a=x,b=1  ,c=x  et  d=5{\color{blue}a=x}, {\color{red}b=1}\;, {\color{purple}c=x}\;et\;{\color{brown}d=5}
  (x+1)(x+5)=x×x+x×5+1×x+1×5\;({\color{blue}x}+{\color{red}1})({\color{purple}x}+{\color{brown}5})={\color{blue}x}\times{\color{brown}x}+{\color{blue}x}\times{\color{brown}5}+{\color{red}1}\times{\color{brown}x}+{\color{red}1}\times{\color{brown}5}
  (x+1)(x+5)=x2+5x+x+5\;({\color{blue}x}+{\color{red}1})({\color{purple}x}+{\color{brown}5})=x^2+5x+x+5
  (x+1)(x+5)=x2+6x+5\;({\color{blue}x}+{\color{red}1})({\color{purple}x}+{\color{brown}5})=\boxed{x^2+6x+5}
Exemple 2 :\pink{\text{Exemple 2 :}}
Développer   (−2x−1)(−x+2)\;(-2x-1)(-x+2)
  (−2x−1)(−x+2)=(−2x+(−1))(−x+2)  ⇒  \;(-2x-1)(-x+2)=(-2x+(-1))(-x+2)\;\Rightarrow\; Ici on fait apparaître la forme (a+b)(c+d)  .({\color{blue}a}+{\color{red}b)}({\color{purple}c}+{\color{brown}d)}\;.
  (−2x+(−1))(−x+2)  ⇒  \;({\color{blue}-2x}+{\color{red}(-1)})({\color{purple}-x}+{\color{brown}2})\;\Rightarrow\; est de la forme :\footnotesize\text{est de la forme :} (a+b)(c+d)  ({\color{blue}a}+{\color{red}b)}({\color{purple}c}+{\color{brown}d)}\;avec:\footnotesize\text{avec} : a=−2x,b=−1  ,c=−x  et  d=2{\color{blue}a=-2x}, {\color{red}b=-1}\;, {\color{purple}c=-x}\;et\;{\color{brown}d=2}
  (−2x+(−1))(−x+2)=−2x×(−x)+−2x×2+(−1)×(−x)+(−1)×2\;({\color{blue}-2x}+{\color{red}(-1)})({\color{purple}-x}+{\color{brown}2})={\color{blue}-2x}\times{\color{brown}(-x)}+{\color{blue}-2x}\times{\color{brown}2}+{\color{red}(-1)}\times{\color{brown}(-x)}+{\color{red}(-1)}\times{\color{brown}2}
  (−2x+(−1))(−x+2)=2x2−4x+x−2\;({\color{blue}-2x}+{\color{red}(-1)})({\color{purple}-x}+{\color{brown}2})=2x^2-4x+x-2
  (−2x+(−1))(−x+2)=2x2−3x−2\;({\color{blue}-2x}+{\color{red}(-1)})({\color{purple}-x}+{\color{brown}2})=\boxed{2x^2-3x-2}

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