Matrice inverse et polynôme annulateur - Exercice 3

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Soit A∈M2(K)A \in \mathscr{M}_2 \left(\mathbb{K}\right) tel que A=(1251)A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 2 \\ 5 & 1 \end{array}\right) .
Question 1

Calculer A2−2AA^2-2A et en déduire un polynôme annulateur de la matrice AA.

Correction
Nous savons que : A=(1251)A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 2 \\ 5 & 1 \end{array}\right)
On vérifie facilement que : A2=(1141011)A^2=\left( \begin{array}{ccc}11 & 4 \\ 10 & 11 \end{array}\right)
Finalement :
A2−2A=9I2A^2-2A=9I_2
    Polynômes annulateurs d’une matrice carrée
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) . On appelle polynôme annulateur de AA tout polynôme P∈K[X]P \in\mathbb{K}[X] pour lequel P(A)=0P\left(A\right)=0 .
Comme A2−2A=9I2A^2-2A=9I_2 alors A2−2A−9I2=0A^2-2A-9I_2=0 .
Ce qui signifie que P(X)=X2−2X−9P\left(X\right) = X^2 -2X -9 est un polynôme annulateur de la matrice AA.
Question 2

En déduire la matrice inverse de AA noté A−1A^{-1} .

Correction
D'après la question 11, nous savons que :
A2−2A=9I2A^2-2A=9I_2
A×A−2A×I2=9I2\red{A}\times A-2\red{A}\times I_2=9I_2
    Distributivité du produit par rapport à la somme.
  • A⋅(B+C)=AB+AC\red{A}\cdot\left(B+C\right)=\red{A}B+\red{A}C et (B+C)⋅A=BA+CA\left(B+C\right)\cdot \red{A}=B\red{A}+C\red{A}
    • Il vient alors que :
    A⋅(A−2I2)=9I2\red{A}\cdot\left( A-2I_2\right)=9I_2
    19⋅A⋅(A−2I2)=I2\frac{1}{9}\cdot\red{A}\cdot\left( A-2I_2\right)=I_2
    D'où :
    A⋅[19⋅(A−2I2)]=I2\red{A}\cdot\left[\frac{1}{9}\cdot\left( A-2 I_2\right)\right]=I_2
    Matrice inversible
    • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) .
      AA est inversible si et seulement il existe une unique matrice B∈Mn(K)B \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) tel que : AB=BA=InAB=BA=I_n.
      On appelle BB l’inverse de AA et on la note A−1A^{-1} .
      Remarque : il suffit en fait de vérifier une seule des conditions AB=InAB=I_n ou bien BA=InBA=I_n et on aura alors nécessairement
      A−1=BA^{-1}=B
      .
    Il en résulte donc que :
    A−1=19⋅(A−2I2)A^{-1}=\frac{1}{9}\cdot\left( A-2I_2\right)
    A−1=19⋅((1251)−2⋅(1001))A^{-1}=\frac{1}{9}\cdot\left( \left( \begin{array}{ccc}1 & 2 \\ 5 & 1 \end{array}\right)-2\cdot \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right)
    Ainsi :
    A−1=(−192959−19)A^{-1}= \left( \begin{array}{ccc}-\frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{5}{9} & -\frac{1}{9} \end{array}\right)

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